I. — Théorèmes réciproques
Dans ce qui précède, nous avons défini des fonctions kleinéennes en passant par l'intermédiaire des fonctions ultrakleinéennes. Dans ce Chapitre, nous allons démontrer qu'une fonction kleinéenne peut toujours être définie par ce procédé.
On pourrait être tenté de définir des fonctions théta de trois variables qui joueraient, vis-à-vis des fonctions ultrakleinéennes, un rôle analogue à celui des fonctions thétakleinéennes vis-à-vis des fonctions
kleinéennes.
Soit f Fes are by, hs D LES MONET (y ) Cr + dl ( L )
un groupe kleinéen. Considérons le groupe
Ce!) dx Li + dr Ts ax Lo + by nn Cr Ti + dy T3
£ De ne = —— tee,
ë De Cp Lo + dh : 2 PET Te à CRLISE dy (A2.
et formons
D(xi.r, Zo,ks L3.k) PE (ar dy — brcr) re (=) D(x, Z:, Æ3) (CxTa + dx)"
Soit R(«,, +, æ,) une fonction rationnelle; la série
à /dxx \?
0(æ1, La; 3) ED (2) R(t:.x; Lo,ks La.k);
6o HENRI MINEUR.
où m est un entier positif est convergente, sauf pour les valeurs de %, qui sont les affixes d’un point limite de y’ et pour les points dont un transformé au moins par quelque substitution de (g”) est un infini de R. :
Le quotient de deux telles séries 0 correspondant au même entier 72 est une fonction ultrakleinéenne. Il est visible que l’on peut choisir les fonctions rationnelles R de telle sorte que pour x, = x, = 0 cette fonction ultrakleinéenne se réduise à une fonction kleinéenne donnée. Mais une étude approfondie montre que le quotient de deux séries ) ne représente pas une fonction ultrakleinéenne dans tout son domaine d'existence. Entre quatre fonctions ultrakleinéennes correspondant au même groupe (g’), il n’y a pas, en général, de relation algébrique, car les singularités essentielles de ces fonctions dépendent des fonctions rationnelles R qui interviennent dans leur définition. Les conditions que doivent vérifier ces fonctions R pour qu’une relation algébrique existe entre quatre fonctions ultrakleinéennes semblent difficiles à établir.
Aussi, suivons-nous pour former des fonctions ultrakleinéennes une toute autre vole. as
1. Formation de fonctions ultrakleinéennes. — Soit (y') un groupe fuchsien D et b;
Re no Co ta die bc —=A)
et K un entier positif au moins égal à 2. Nous allons former un système de fonctions zétafuchsiennes X,(2), Y,(3), Z,(z), T,(z) vérifiant les équations
Xi(z)=[TaX;(3) +8; Y:(z)](c;z + d;)f, Y(s)=[aXi(z) + d;Y,(z)](e;s + d,y#, Zi(si) = TuiZ(s) + di (2) (cs + di)", Ttz) =fcZi(s) EdiTi(s)T (cs + d;)f.
el tel que T. Rite Remarquons pour cela que Z, et T, n'interviennent que dans lés deux dernières équations et prenons pour T, une fonction thétafuch-
THÉORIE ANALYTIQUE DES GROUPES CONTINUS FINIS. Gr
EE k I sienne T de l’ordre = | 5
Der
Cette fonction vérifie la condition T(3;) = T(z)(c;z + d; #1. Posons - ”
on aura bien T(z)=[c2T(2) + d;T(z)](c;2 + d,}f, L(z:) = Ta; sT(s) + DT(2)] (cs + di)f.
Comme système [X(z), Y(z)] vérifiant les conditions imposées, on peut prendre le système [Z(z), T(z)]. Le système des quatre fonctions
X(z)— Z (3), VAN TUE) Li(2)=Z(z); ETES)
vérifie donc les conditions imposées.
Par la suite, nous aurons besoin d’un second système X,, Y,, 2,, T, vérifiant les mêmes conditions, mais distinet du précédent. Nous
prendrons Z:(z)=2Z(2), T,(3) = T(2).
: ; S : K « Soit 0,(z) une fonction thétafuchsienne d'ordre Le système de Z(z) nee) Az) TG) u(3;) — a;u(z) + bip(a), o(z;)—=cu(s) + d;e(2),.
fonctions u(z) — vérifie les équations
Soit y = f,(z) une fonction fuchsienne relativement au groupe (y); le système de fonctions
