Considérons une transformation infinitésimale de G

) () d o) Vf=E SE + a+ + En

nous allons appliquer les résuliate précédemment obtenus à l’étude des trajectoires de Y f. Le système

(10) mo =) (i=1,2,8,4),

où les y sont les coordonnées d’un point de at et où 0 désigne le temps, peut être considéré comme définissant le mouvement du point y.

Représentons un point de 3 par le point correspondant m (x,, æ, æ,) du polygone P. Soient X f la transformation de g homologue de Y f, V et V' les deux génératrices doubles de X ÿ, e la congruence formée par les droites qui rencontrent V et V'; les trajectoires de Yf ont pour homologues les droites de l’espace E(x,,x,,x,) appartenant à la congruence linéaire e ; toute droite de cet espace est l’homologue d'une trajectoire d’un certain sous-groupe de G.

Soit 7 une substitution de (2), % est contenue a un sousgroupe g’ deg’, soient U et U'les génératrices doubles de 2” ; soient D la droite passant par l'intersection de Uet V et par celle de U et de V’ et nm, un point de D. Le point m, = rm, se trouve sur D, D rencontrant V et V'est une trajectoire de X f, il existe donc une transformation { du sous-groupe X f telle que m, =tm,.

Soit w la valeur du paramètre canonique 0 qui correspond à #4. La trajectoire de Ÿ f homologue de D est une solution périodique du système (10); en effet, lorsque le temps augmente de w, le point m de

pe

l’espace E subit la substitution + de (g')et le point M correspondant reprend la même position.

Ainsi: À toule substitution de (g') correspond une solution périoe dique du système (10).

Dans ce qui précède, nous ne nous sommes inquiétés ni de la réalité de la solution, ni de celle de la période w. L'étude des solutions asymptotiques est aussi ramenée à celle du groupe ultrakleinéen (g”).