INTRODUCTION

La théorie des groupes continus finis a été fondée par S. Lie, et depuis de nombreux géomètres en ont développé les bases et les applications. Dans toutes ces recherches, on définit un groupe continu G par des transformations infinitésimales

Xf=S Eu) (zur), K=A

dont on suppose les coefficients &;; holomorphes dans le voisinage d’un point; on définit les transformations de G dans le voisinage de ce point en se bornant à l’étude des transformations voisines de la transformation identique. Lorsqu'on étudie la similitude entre deux groupes g et G, on se contente d'établir qu'il existe une transformation f holomorphe, ainsi que f-', dans le voisinage du point considéré et telle

fu | fa =G

Dans ce travail, nous nous sommes proposé d’étudier les groupes continus (x, sans nous restreindre ni à la considération des transformations de G voisines de la transformation identique, ni à l’étude des transformations de G et de la transformation f dans le voisinage d’un point. Ce travail se compose de trois Parties :

Dans la première Partie, nous supposons les &;; algébriques et le groupe g birationnel; nous faisons en outre une hypothèse sur la structure de g. Au groupe G correspond un groupe (g') birationnel, comprenant une infinité discontinue de transformations. Si (g”) est discontinu au sens de H. Poincaré, la transformation f est nniforme, ainsi que les transformations de G qui correspondent biuniformément à celles de g. Dans le cas contraire, G contient un sous-groupe singu-

lier (G) composé d'une infinité discontinue de transformations.

Dans la deuxième Partie, nous étudions une structure particulière de groupe qui nous conduit à considérer des transcendantes uniformes

‘appelées cultrakleinéennes ». Nous étudions également G sur sa multiplicité invariante ; cette dernière théorie, qui complète dans un autre sens celle de la similitude des groupes, peut s’étendre à des structures plus générales que celles que nous avons envisagées.

Dans la dernière Partie, en partant de fonctions kleinéennes; nous avons défini des fonctions ultrakleinéennes et des groupes G pour lesquels les £,; sont algébriques. L'étude de ces groupes, dont on ne peut former les équations finies et qui se ramène à l’étude d’un groupe kleinéen, termine ce travail.