PRÉLIMINAIRES

I. — Propriétés des solutions de certaines équations fonctionnelles algébriques.

1. Exposons d’abord quelques résultats qui servent de guide dans

nos recherches.

Soient f(x) une fonction méromorphe et x une valeur particulière

quelconque de la variable, en général l'équation Ja) = f(x),

où x’ est l’inconnue, a une infinité de racines qui sont des fonctions analytiques de x. Cette équation définit donc une infinité de transformations qui constituent ce que nous appellerons le groupe de la fonction f. Cette définition s'étend sans difficulté à un système de n foncüons de 7 variables.

Nous dirons qu'une relation entre deu variables y,, y, est algébroïde, si à une valeur de y, correspondent au plus un nombre fini N de valeurs de y, et réciproquement. N est dit le degré de la relation considérée par rapport à y.

TaéorÈme [, — Si deux fonctions méromorphes f(x) et g(x) sont liées par une relation algébroïde, f(x) ne prend qu'un nombre fini de valeurs lorsqu'on y effectue toutes les substitutions du groupe de g. Ce nombre est au plus égal au degré de la relation considérée par rapport à f.

Taéorème IT. — Soient f(x) une fonction méromorphe et x! = dx, a) les équations d’un groupe continu g de transformations birationnelles à un paramètre. S’il existe, quel que soit x, une relation algébroide de degré maximum N entre f(x) et f[%|x, a]] et si l’on considère N +1; transformations h,, h,, ..., h,, du groupe de f, deux de ces N +1 transformations h, et h, sont telles que h,h," est permutable avec loutes les transformations de g.

Les fonctions

f(x), et flyfe, 21]

étant liées par une relation algébroïde de degré N par rapport à f(L), en vertu du théorème |, deux au moins des N + 1 quantités

fStkACæ) al] mn, .,N+n S{YTA, (Ce), a] = SIYlA(æ), af], ou, en posant 4(x) = 4h,[4,'(x)], SYLAC), a]] = Te, a)

sont égales :

Il existe donc une substitution '(x) du groupe de f telle que

YLA(æ), a]=#'[4Ex, al]:

Les substitutions k et 2! dépendent de a; mais comme les substitutions »' forment un ensemble dénombrable, pour une infinité de valeurs de a voisines d’une valeur quelconque x, h et h'sont les mêmes. Prenons pour à la valeur du paramètre à qui correspond à la transformation identique, et choisissons pour x une valeur telle she h et A’ soient holomorphes dans son voisinage; la fonction

diA(x), a] — h'[YCx, a]|

holomorphe par rapport à x el à a, est nulle pour une infinité de valeurs de a voisines de «; elle est donc identiquement nulle et pour a voisin de &, on a

ULA(æ), al] = k'TDCx, a]|.

Faisons dans cette équation a = «, il reste

h(æ) = NE); par suite, é YA(X), a] = AE, a1],

quel que soit a; (x) = h,h;' est donc permutable avec toutes les transformations de g

Üne conséquence de ce théorème est la proposition suivante déjà connue : Une fonction méromorphe qui admet un théorème d’addition algébrique est soit une fonction rationnelle, soit une fonction rationnelle de e*, soit une fonction elliptique.

Ces deux théorèmes s'étendent sans difficulté à un système de n fonctions de x variables.

II. — Indication d’un procédé de définition de certaines transcendantes.

2. Soient f,(x) et f,(x) deux fonctions méromorphes liées par une relation algébrique

FA), fi(a)] eo.

Nous appellerons groupe du système (f,, f,) l’ensemble des transformations communes aux groupes de f, et de f,. Soient de même ni fonctions fi, 2... fa+, de n variables x,,æ,,...,%, hées par une relation algébrique

PT sie Tn)) fa( Lis +, CDs ..) PNG ER …., mr)]l=0

. Le groupe de ce système est formé des transformations Cu) définies par

US PR RQ RE 0 dr CE A A A A (Ets 0 EAN Nous dirons que deux systèmes

(AY NE ) el CR San nee AD)

sont liés par une relation algébroïde si chacune des fonctions de l’un des systèmes est une fonction algébroïde des fonctions de l’autre. Par extension, nous appellerons degré de cette relation par rapport à (f) le nombre des systèmes (f) qui correspondent à un système (g) donné. À

Symboliquement, on peut écrire un tel système sous la forme y = f(x); f est en définitive le symbole d’une correspondance entre les systèmes x,, &,, ...; x, et les points de la surface algébrique

F[ y: Ya, Le Vaial = 0!

Grâce à l'emploi de cette forme symbolique, il est facile de voir que les démonstrations des théorèmes ['et IT s'étendent aux systèmes de n +1 fonctions de n variables. En particulier, considérons le cas où dans l'énoncé du théorème Il, N-égale 1. Les relations algébroïdes considérées sont alors uniformes. Soit À une substitution du groupe de f; si nous lui associons la transformation identique qui fait aussi partie de ce groupe, nous avons ainsi N + 1 substitutions du groupe de fet, en appliquant le théorème Il; nous voyons que À est permutable avec toutes les transformations de g.

3. Il existe, comme on sait, trois procédés principaux de définition communs à l’exponentielle et aux fonctions elliptiques; seuls deux d’entre eux permettent de définir les fonctions fuschiennes et kleinéennes comme le montre le Tableau ci-dessous :

6 HENRI MINEUR, EXPONENTIELLE, FONCTIONS ELLIPTIQUES. FONCTIONS KLEINÉENNES. Série e?. Séries p(u), E(u). Séries thétakleinéennes.

Inversion de l'intégrale | Inversion du quotient de , elliptique de première| deux intégrales d’une Y Troe espèce. équation linéaire.

Équation différentielle

Equation fonctionnelle |Théorème d'addition algé-

Jiæ+y)=f{æ)f(y) | brique.

Nous nous proposons dans ce travail de combler le vide que présente ce Tableau; d’une façon plus précise, au moyen d'équations fonctionnelles analogues à celles du théorème d’addition des fonctions elliptiques, nous définirons des systèmes de transcendantes dont le groupe est formé de transformations birationnelles d’une nature donnée à l'avance. A titre d'exemple, cherchonsles systèmes de quatre fonctions

de trois variables x,, x,, x, dont le groupe est formé de transformations de la forme

a %3 + Br , Gti +B ne di + d Ts RER IN 2) DENT ER? OR ere Ya + Ô YLa + Ô Zi + 0

&.* Li Il suffit pour cela de remarquer que ces transformations sont permutables avec celles du groupe

ax + bXa PRE + dx; ; ax; + b F Cas ed

Si donc on connaît un système de quatre fonctions f,, f:, fs, f, de trois variables liées par une relation algébrique et telles que les quantités

aAX\+bx, cr + dx, ax; +b hé ) ER CRE cxs+ d\ :cx;+d cr; +<d

soient des fonctions uniformes des f;(x,, æ,, æ,), ce système se répétera par des transformations du groupe g’. Si dans f;(x,, &,, xæ,) par exemple, on fait x, — x#,— o, on obtient une fonction kleinéenne de ., car pour æ,—x,—0 une substitution du groupe g’ se réduit à

ALa+ P

LE 1 Y Let Ô

THÉORIE ANALYTIQUE DES GROUPES CONTINUS FINIS. 17 4. Considérons pour simplifier un système de deux fonctions d’une variable f,, f, liées par la relation algébrique EC UR) ocean groupe g continu à un paramètre : æ'=— 4 (x, a). Supposons que f,(x') et /,(æ°) soient des fonctions uniformes de f,(x)et f,(x) : fa) Rilfi(æ), ae], (2) = Rx), fi(æ)],

Les transformations ainsi définies

Xi REX, X2], ARS CS ES

forment un groupe G, conservent la courbe algébrique F(X,, X,) = o

et sont uniformes sur cette courbe. Les groupes g et G sont donc sem-

blables et les fonctions y, = f,(x), y, — f,(x) peuvent être consi- . dérées comme définissant une transformation f telle que

(1) Jef =G.

D’après la théorie de Lie, réciproquement, si g et G sont deux groupes continus semblables, il existe une infinité de transformations f vérifiant l'équation (1). Dans ce travail nous ferons donc létude de la similitude des groupes continus de transformations et des transformations f correspondantes. .Nous montrerons dans quels cas les fonctions ainsi définies sont uniformes et nous retrouverons sous une forme plus précise le groupe de ces fonctions.