Recherche des conditions d’uniformité des fonctions y

Comme nous l’avons montré, si les transformations de G sont uniformes, les y le sont aussi. Il serait intéressant d’établir directement les condo d'uniformité des transformations de G, car ces conditions convenablement généralisées permettraient de définir sans difficulté des fonctions de plusieurs variables qui généralisent les fonctions kleinéennes. Cette question est du reste liée à la recherche des substitutions fondamentales de (G).

20. Genre zéro. — Supposons la relation (5) F(y:, y:) = 0 de genre zéro. Par transformation birationnelle, on peut supposer que y; est une fonction rationnelle de y, et ne considérer que y,. Supposons que G ait dans le plan y, » points singuliers de première espèce correspondant aux valeurs p,, p,, ..., p, du nombre p. |

Si les p, ne sont pas des entiers, à chaque point de première espèce correspond une substitution de (G). Nous n'avons pas pu démontrer que ces substitutions constituaient un système de substitutions fondamentales de (G). Si cette proposition était établie, les conditions d'uniformité des y en découleraient immédiatement, car si l’on suppose les p, entiers, les substitutions considérées de ce) se réduisent toutes à la transformation identique.

Supposons les p, entiers, (2°) admet » substitutions fondamentales

polaires, si l’on faitx, —x,—0,(g')se reduit à un groupe kleinéen (g’ )

; ans dérivé de n substitutions elliptiques de multiplicateurs el», ce groupe (g’) est ‘discontinu dans une certaine os % du plan des æ,, ainsi que Poincaré l’a établi.

Soient R un polygone kleinéen de (£”), P le domaine de l’espace E’ dont la projection sur le plan x, est R. De: la discontinnité du groupe (2’) engendré par R résulte la discontinuité du groupe (£’) engendré par P, donc l’uniformité des fonctions y.

Dans ce cas, G est formé de transformations biuniformes qui correspondent biuniformément aux transformations de g

21. Genre quelconque, — Supposons la relation (5) de genre N. Rendons & simplement connexe comme l’a fait Riemann ( Abelschen Funktionen, $ 7); on forme ainsi 2N coupures a,, b,, a,, b,, ..,, &,

n THÉORIE ANALYTIQUE DES GROUPES CONTINUS FINIS. 85

b,; à ces 2N coupures correspondent 2N substitutions A,, B,, ..., ? A B, de (2): Soit Ù

HIS (a—1B)z — ati —1t)x,

| A (1—t)xa+ at — 6 ? ë LL (a—1B)a;—aBli-t)

(t) FFT Üt)æs + etes ù, (—ba+(at—6)z

He Ue Learn

une substitution de (2’), nous désignerons £ sous le nom de multiplicateur de (x). | Cela posé, nous considérons successivement les cas suivants :

1° Les multiplicateurs de 2N substitutions A;, B; sont réels. Le groupe (g°) est alors un groupe de la première famille de genre N; il est discontinu et les y sont uniformes.

2° Les multiplicateurs des N substitutions A,, A,, ..., A, sont

2Ti

réels, ceux des substitutions B,, B,, ..., B, sont respectivement e”:, 2Tti 2Ti |

EP els DCS SDS étant des nombres réels. Il est facile de voir qu'après une circulation du point » autour d’un point double de B; les y ne reprennent pas la même valeur si p; n’est pas entier; on connaît donc N substitutions de (G). Si p,, ..., p, sont des entiers, (g’) est un groupe kleinéen de deuxième espèce, si p, = p,=...=pa=1, (g’) est de première espèce et de troisième famille. Dans ces deux derniers cas, il est discontinu et les y sont uniformes.

‘22. Pour terminer, donnons l'exemple suivant : Considérons l'intégrale elliptique

Je à VAE — 27y(È +1)

o1(Y) W2(Y) une fonction modulaire de 3: y— #(z); sinous prenons f,(x,) = o(x;)

Soient w,(7) et w,(y) deux périodes distinctes et z — » y est

etÜ(x,) = V2 (x,), nous obtiendrons le groupe G dont les transforma-

tions sont uniformes :

d o) 0 MIE VU +r il,

dy:

EN Ft de pre TE * elr nor 14h ya(rs— 1) l# of" 0 +inni rs.

Vu et approuvé :

Paris, le 5 mars 1924.

LE Doyen DE LA FACULTÉ DES SCiENCES,

M. MOLLIARD.

Vu et permis ‘d'imprimer Fe Paris, le 5 mars 1924.

LE REcTEUR DE L'ACADÉMIE DE, PARIS,