Conservons les mêmes notations que précédemment, et soit

le déterminant mineur d'ordre m — p + i deA^ obtenu en supprimant dans Ac les p — i dernières rangées et les p — i dernières colonnes. Multiplions les éléments de la première colonne de Ajî^ par o;^"*, ceux de la seconde par o^"*, ceux de la dernière par af"^; ajoutons par rangées les termes obtenus, et remplaçons les éléments de la dernière colonne de A^' par les sommes obtenues; le déterminant A^' sera multiplié par a?''"*, et l'on aura

AJt'xP-' =

Bj,i

Li,a . • • \Ji,m—p

fi<f{x) — <f,f{x] — B,,

(58) Si nous désignons généralement par A^^> le déterminant

Ai!" =

Bi,«-.

O/n— o+LI -B

• • • -"«n— »+!,«— i* l5|||^4-i,iM

/>+!.<»— /»*fil

l'équalion précédente pourra s'écrire

X^'xf ' + A;f'a:A'-«

Cl, 2

Bi,a

Bfli— ^H-i,« Bjh— p-|-i,i . • . Dm—p^'^vn-p Jm—f ? (^) — 9"»— ^/l'^)

OU bien

A'^* x^- 4- A^" OTA»-» 4- . . . 4- :^^^ = A iK^:) -4- Uc ? (^) - Vc/(:c).

en désignant par Uc et Vc des polynômes de degré m le déterminant

/> en 07 et par A

Bj^j • • • ■Ba.Bi— j

,1 • • • • • • -Km— j>+i,i»k— /> O

En opérant de même sur tous les déterminants

0\^1 . . . I{|,i)|^|>^| Uj^j • • • 0^,m—p^\

,1 -Diji— .B+i^m—to+i

,1 • • • • • -DjH— ft-*-l.

on trouvera la série des identités

A^'^or^' + A;?^ x/»-» + ... H- Ai" = A9(:r) 4- Ubç(^) - Vb/(^), AjJ^orf'- H- AJ?^ j:/-' H- . . . + A^''> = A4;(a:) -+- Uc(p(:r) - Vc/(x),

Al^^^/»- ^A^f^arf^'-f- . .-i-Alf' == A0(x) + Ul?W -Vl/(^).

Si/(a7) = o, y (a?) = o, ij; (a?) = o, . . . , 0(0?) = o admettent /? racines communes, ces/? racines communes annuleront les premiers membres

de ces égalités» qui ne sont que de degré/7 — i; par suite, tous les coefficients de ces fonctions de degré p — i sont nuls. On a donc

Ad)

Réciproquement, si ces conditions sont remplies, les équations proposées auront /7 racines communes, car on a alors les identités

o = Aq (^)-hUB(p(.r)~VB/M, o = A4;(ar)H-l)c?W-Vc/(:r),

o = A0 (x) -4- Ul <p (2:) - VL/(:r) ;

la première équation nous montre que y (a?) = o^/{a>) =0 ontp racines communes, et les équations suivantes, qui sont également des identités, nous montrent que ces p racines communes k/{x)=o, (f[x) = o annulent ^[x)^ ..., Q{x). On peut donc dire que le groupe des {n — i)p équations

Aï- = 0,

Al*' = 0.

Alf'

représente les conditions nécessaires et suffisantes pour que les n équations proposées aient p racines communes,

25. L'équation qui donne les /> racines communess'obtient aisément: il suffit de considérer l'un des déterminants mineurs d'ordre m — p de l'un des déterminants A^, Aq, ... ou A^^ à volonté, et d'opérer sur ce déterminant comme nous l'avons fait pour A^', ^c\ . . . , Ail'; et, si Ton désigne par CD^' le déterminant

Bj.i

Bj,î

Bm~p.i B,

Dm—p,m~p — I Om-p,

TéquatioD de degré p qui donne les/? racines communes sera

OU bien

(5^1^ xP 4- G^'^xP'' H -4- Ob)lf ^ = o ,

elle affecte ainsi diverses formes, ce qui nous montre que les déterminants qui figurent dans les équations comme coefficients des mêmes puissances de x sont proportionnels. La manière dont les conditions précédentes ont été obtenues nous montre que Ton aurait pu leur donner des formes diverses, en prenant, pour les éléments qui figurent dans les déterminants à partir de la seconde rangée, les éléments des déterminants de Cauchy relatifs aux équations qu'on obtient en associant successivement toutes les équations données à chacune d'entre elles, au lieu d'associer, comme nous l'avons fait, la première équation f{x) = o à toutes les autres.

26. Comme application de la théorie précédente, je mentionnerai la recherche des conditions que doivent remplir les coefficients d'une équation de degré m pour qu'elle ait n racines égales. On sait que la question se ramène à exprimer que n équations de degré m — /i + i ont une racine commune.

Comme seconde application, nous citerons la recherche des conditions pour qu'un polynôme de degré mp soit la puissance nù^^ exacte d'un polynôme de degré p et la formation de ce polynôme.

Ces deux dernières questions sont des applications immédiates de la théorie précédente; nous ne nous y arrêterons pas.

Vu et approuvé :

Paris, le 20 décembre 1878.

Le Doyen de la Faculté des Sciences,