Supposons les équations données de même degré, et soient

f[x) = A.x^ -H A, a:"-' 4- . . . 4- A« = o, <p (ar)= B,«« + B.a;*-' 4- . . . -i-B«= o,

0(^) = L, j:" + LtX^-^ 4- . . . -h L« = o

ces équations en nombre quelconque n; désignons par

Bj.i^r--' -+-B,,,a:^»-+- . . . -»-B,,«= o,

B«,, ar«-'-4-B«,,^-»-t- . . . +B«,« = o

les équations de Gauchy relatives à la première et à la deuxième équation ; par

Lij,t X'*~ -+- Lia,i J7*"" -+-•..-+- \Ji,m "^^^ e.

C«,i ^-' -f- C^.iar"- »-+-... + C«,ip = o

les équations de Gauchy relatives h la première et à la troisième équa< tion, etc.; enfin par

les mêmes équations relatives à la première et à la dernière des équations proposées. Nous allons démontrer que les conditions nécessaires

et suffisantes pour que les n équations aient une racine commune sont

Bi,i Bi,j . • . B|,fl, Bj,! Bj,i , . . Bj,„

B«,i Bfli,i . . . Bjn,i

Bt,i D^^t . • • Bî,j

Bjw,i Bj«,j • . . B,

M/iR

B,,i B,,t • . • Ba,

Bfli.i Bjn,j . . . Bii,j

Désignons par An le premier de ces déterminants, par A^ le deuxièmct etc., par A^ le dernier, et considérons Tégalité

Ac =

Bm

Wf w

Multiplions les éléments de la première colonne de A^ par x' ceux de la deuxième par cc^-^, etc.; ceux de la dernière par i ; ajoutons par rangées horizontales les éléments ainsi modifiés, et substituons aux éléments de la dernière colonne les sommes obtenues, nous aurons, en employant la même notation que précédemment.

Ac =

Cm

... Cx.m-xf.^[a:) — 4*0 f[x)

.... B,,«,/»<p(ar) —9, f[x)

ou bien, ea séparant»

Ar.=

v»i,i vi|,a ••• L|,»i__iyi

Bi,i Ba,! ... Bi.M-i o

B|,i Bj,t ... B|,jM.i o

Bb,,i B«,i •«. Bm^si— I o

iw

Bs,l Bj,ï ••• Bs,m ija B,mi Bai,» .•• Dm,m—iJm—\

^1,1 tj|,j .•• Ci,jii-i Y« Bï,i B,,j ... Bj^M-i ?i Bs,! Bj,j ... Bs,n-t 9j

ou encore

Ac = A4;(a?) + Uc <f{x) — Vc/(4?),

A étant le détermioant

L|,«iyt

Bm

Bs,»

• • Ba,»-!©

Bm.m-i C

Uc et Vc des polynômes de degré m — i en a?. Supposons A^ o, et opérons de même sur tous les déterminants Ab, Ai>, ..., A^; on aura la suite des identités

Ab = A9(^) -+-Ub<p(^) — Vb/I^t), Ac = A + (^)4-Uc?W-Vc/W,

Al = A (:r) + Ui, 9 [x] - Vl/Io;).

Si les équations /(x) = o, (p{x) = o, f^{x) = o, . . •, &{x)=: o ont une racine commune, les seconds membres des identités précédentes s'évanouiront quand on mettra a la place de x cette racine commune; par suite, il faudra que Ton ait

Ab = o» Ac = o, . . , , Al = o.

Inversement, si ces conditions sont remplies, les équations proposées auront au moins une racine commune, car la première équation

o = A 9 (o;) + Ub cp (AT) - Vb/I^;)

nous montre que les deux équations/(a?) = o, 9(^7) =0 ont une racine commune; si Ton substitue cette racine dans les suivantes, savoir:

o=:Ae(a;)+UL(p(^)-VL/(^),

on voit qu'elles se réduisent k leur premier terme, et par suite, comme A est supposé différent de zéro, la racine commune ^/(a?) = oei(p{x)^o annule ^(^), ••• et @{x).

On peut doDC dire :

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations

f(x] ==0, 9 (ar) = o, ^j; (:r) = o, . . . , [x) = o,

au nombre de n, aient une racine commune, sont les{n — i) conditions

Ab = o, Ac = o, . . . , Al = o.

22. On voit que l'équation Ag = o n'est autre chose que la condition nécessaire et suffisante pour que/ (a?) = o et ç(a?) = o aient une racine commune ; les équations A^ = o, ..., A^ = o indiquent que cette racine commune satisfait aux équations

et, par suite, à ^{/(a?) = o, ..., Q{x) = o.

On aurait pu trouver les conditions précédentes en exprimant que /[x) = o et (p{x) = o ont une racine commune; en formant, par la méthode indiquée plus haut, les puissances successives de la racine commune et en substituant ces valeurs dans les équations

on trouve ainsi immédiatement les conditions Ac = o, ..., A^ = o. 23. La théorie précédente suppose le déterminant

Ann

Cl,»— I

Bin,i B«,j

Om.m

(55) différent de zéro ; ce déterminant est égal à

Ba.i Bs,!

Bj,»

B«,i Bb,,î

Bj^jM—l

•B3,jn— I

Nous allons présenter la méthode d'une manière plus générale, qui permet de maintenir les conclusions précédentes, quand même A = o. Considérons le déterminant A^ :

Ar.=

3,jn

Bmj l*fli,ï

Multiplions les éléments de la première colonne par ot^^^S ceux de la deuxième par œ"^'^, etc.; ajoutons par rangées et remplaçons les éléments de la colonne d'ordre V par les sommes formées. A^sera multiplié par a?'"""^, et Ton aura

B»,i B,.2 . . Ba^v-i f\ 9(^) — 9i f[x] Ba,»H., .. . Bi,m

B«,i Bm,î ..- B|„,v-i/li-i 9(^) — <Stm-\f[x] Ba,,v4.i ... B„,„

en développant, il viendra

Ar X" =

ii|,V-.|

• • • Bj,v— 1

Bm,i

Bi»,v i

Lj,v— 1

Ba,v-i

Bfl,,j

. . . -Ci.v-I

Bm

Bj,v-i

BJ,»^-l

<if[x

Bj,j

•Dm, y+l

'n,in

Bj,ai

Dm, in

ou bien

Acx--" =/. A. '\> (x) + C« ? (X) - V£>/(«).

Od aura, en opérant de même sur les autres déterminants Ab« ..., A, »

Le raisonnement fait précédemment nous montre que, si Ayest différent de zéro, les conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations proposées aient une racine commune sont

Ab = o, Ac = o, ..., Al = o.

Il n*y a d'exception que si tous les déterminants Av qu'on obtient en faisant v = i» 2, ..., m sont nuls; or Av sont, au signe près, les déterminants mineurs de Ab obtenus en ordonnant Ag par rapport aux éléments de la première rangée.

Si donc tous ces déterminants sont nuls, Aglui-même est nul, et alors les équations /(a?) = o et 9 (a?) = o ont au moins une racine commune. On peut montrer qu'elles ont même deux racines communes dans ce cas.

Nous avons établi (n^ 6) la formule

A(^,v) + (-!)•-— •A(,z,m)^-=UÎïi, 9(0;)-. VL^/(x);

/(a?) = o et (p{x) = o ayant une racine commune, celte racine doit annuler le premier membre

A(fx,v) 4- (— i)'*-*-*A(/i,m)^'^^

Or, par hypothèse,

par suite,

A(2,l)=0, A(3,l)rr:0, .,., £i{m,t) = 0,

car, à cause de la symétrie du déterminant A, on a

A(^,v)=rA(v,jx).

On voit donc que A(|ul,v) est nul pour v=i, ii = m; par suite A(/w,m) = o, et, d'après ce qui a été démontré, les équations/(a?) = o et (p{x) = o ont au moins deux racines communes.

La théorie précédente ne tombe donc en défaut que si tous les groupes d'équation [/(a?) = o, (f[x)=o]^ [/{x) = Ot i\f{x) = o], [/l[a?) = o, Q{x) = o] admettent deux racines communes, car, tant que cette circonstance ne se présente pas, tous les déterminants mineurs d'ordre {m— i) de Ab Âc, ..., A^ ne sont pas nuls.

Les équations proposées se décomposent chacune en une équation du second degré et une équation de degré m — 2, dans le cas où elles admettent deux racines communes avec /(a?) = o; on pourra dès lors appliquer à ces groupes les considérations précédentes.

Nous allons passer maintenant au cas où Ton aurait à exprimer que n équations ont p racines communes.

Conditions pour que n équations aient un nombre quelconque p de racines

communes.