INTRODUCTION

Ce travail a pour objet de présenter sous une forme simple quelques résultats importants relatifs à la théorie des équations. Il comprend ^ la résolution et la discussion des équations linéaires, le problème général de l'élimination d'une inconnue entre deux équations algébriques données» c'est-a-dire la recherche des conditions nécessaires et suffisantes pour que deux équations algébriques données aient un nombre quelconque de racines communes, et la formation de l'équation qui admet pour racines le groupe des racines communes.

Cette première étude met en évidence une série de polynômes qui jouissent des propriétés des fonctions de Sturm, dont ils ne difïèrent d'ailleurs que par un facteur positif.

L'identité algébrique dont les polynômes en question forment l'un des membres fournit Fexpression des fonctions de Slurm sous forme de déterminants, et elle donne aussi un coefficient quelconque de ces fonctions sous la même forme.

Il en résulte une méthode pour trouver le nombre des racines réelles d'une équation, comprises entre deux limites données o^o, x^.

Dans cette méthode, on peut introduire les limites x^ et ^i dans

l'expression de la fonction de Sturm dont on veut calculer le signe, et profiter de toutes les simplifications qui se présenteront dans le courant du calcul, qui porte alors, nou plus sur des polynômes comme dans la méthode directe de Sturm, mais sur des quantités numé« riques.

J'obtiens ensuite, comme conséquence, les conditions de réalité de toutes les racines d'une équation donnée, et, en rapprochant ces résul-* tats de ceux que fournit la méthode de M. Hermite, je montre leur identité.

M. Sylvesler a donné également les conditions de réalité de toutes les racines d'une équation, dans ses travaux sur le théorème de Sturm, et M. Borchardt a mis ces conditions sous une forme extrêmement élégante. On sait que dans les expressions de M. Borchardt ne figurent que les sommes des puissances semblables des racines de l'équation proposée, de la puissance i à la puissance 2/72 — 2, m étant le degré de l'équation; elles ne peuvent donc pas être évaluées directement en fonction des coefficients. J'obtiens ces expressions sous une forme trèssimple, le déterminant qui les représente étant d'un ordre inférieur d'une unité à l'ordre des déterminants de M. Borchardt.

Je passe ensuite aune autre application de>la formule fondamentale dont j'ai tiré les résultats précédents; cette formule fournit l'expression des deux fonctions entières qui forment les premiers membres de deux équations jouissant de la propriété de séparer les racines de l'équation proposée. C'est M. Maleyx qui, le premier, a indiqué cette propriété dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (t. XIII, 1872); j'établis, à l'égard de ces deux équations, qu'elles ne jouent pas complètement le rôle de la dérivée dans la séparation des racines.

Je généralise, en terminant, la formule qui a servi de point de départ a ces diverses applications, et j'établis les conditions que doivent remplir les coefficients d'un nombre quelconque d'équations à une seule inconnue pour que ces équations admettent un nombre

déterminé de racines communes, et je forme Téquation qui donne le groupe des racines communes.

M. Rouché a traité complètement la question de la discussion des équations linéaires, et il serait difficile de le faire avec plus d'élégance et de simplicité. J'ai commencé ce travail par la résolution et la discussion des équations linéaires, non pas que je croie à l'avantage de ma méthode sur celle de M. Rouché, mais parce que la propriété élémentaire des déterminants, qui en est la base, est celle dont je fais usage pour établir tout ce qui suit.

M. Rouché a également publié dans les NoweUes Annales de Mathématiques (t. XV, mars 1877) un article dans lequel il trouve les conditions pour que deux équations algébriques données aient un nombre quelconque de racines communes.

M. Venléjol a donné, en février 1877, une théorie de l'élimination, dans laquelle il arrive également à établir les conditions pour que deux équations données aient un nombre quelconque de racines communes.

Je regrette de n'avoir pas eu connaissance de ces publications assez tôt; elles eussent beaucoup simplifié mon propre travail. Enfin, M. Lemonnier vient de publier, dans le numéro de mars 1878 des Annales de l'École Normale^ un Mémoire remarquable sur le même sujet. Il montre la liaison qui existe entre les méthodes dites d'Euler, de Sylvester, de Bezout, de Cauchy, de Cayley, et il arrive également à la détermination des conditions pour que deux équations a une inconnue aient un nombre quelconque de racines communes.

Mon but n'a pas été le même; je ne fais usage que du déterminant de Bezout-Cauchy, qui est de Tordre le moins élevé et qui a l'avantage d'être symétrique. Je passe sous silence plusieurs points intéressants de la théorie de l'élimination, pour arriver au théorème de Sturm et aux conséquences qu'on peut tirer de la formule que j'ai appelée yb/idamentale. Je suis donc loin de présenter un Traité complet sur l'éli-

mination. M. Lemonnier promet une deuxième Partie, devant faire suite à sou Mémoire; il annonce qu'il a trouvé l*expression générale des fonctions de Sturm; mais cette deuxième Partie n'est pas publiée. Tels sont les auteurs qui, dans ces deroiers temps, se sont occupés du problème général de l'élimination d'une inconnue entre deux équations. La méthode dont j'ai fait usage m'a permis d'arriver d'une manière plus simple aux mêmes résultats; elle m'a donné, en outre, la solution de cette question : Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour quun nombre quelconque d'équations aient un nombre quelconque de racines communes.

BlEHLER.

Paris, lo 17 avril 1878*