Soient

les n équations linéaires entre les inconnues x\^ x^, ..., Xn> Appelons A le déterminant des n^ coefficients des inconnues :

Onti ^n,i • • • '7j«,v • • • Cln,i

et supposons A^o.

Multiplions les éléments de la première colonne de A par x^, ceux de la deuxième par a:^, ceux de la troisième par x^^ ..., ceux de la dernière par x^ ; ajoutons par rangées horizontales les éléments ainsi modifiés, et substituons aux éléments de la colonne d'ordre v, dans A, les sommes ainsi obtenues; le déterminant A sera multiplié par x^, et Ton aura

AwTv =

û|,l û|,a • • • û|,>»— I A| n.| ^l.v-f-i • • • (li,m

^2,1 ^a,2 • • • ^î,v— I ^1 — *^J ûî,v+i • • • ^2,n

^n,l On,7 • • • û«,v— I •A.jt — l\j| âii,y^i • • • <'«,*

Le déterminant qui figure dans le second membre peut être décomposé en deux autres, savoir :

Ar, —

Désignons par Av(X) ce que devient A quand on y remplace les éléments a,,v ^2,v> •••» «n,v de la colonne d'ordre v respectivement par X,, Xa, ..., X„, etsoit Av(K) ce que devient le même déterminant A quand on y remplace les éléments de la même colonne par les quantités Ki^K,, ..., K„; l'égalité précédente prendra la forme

A:c,-f-Av(K) = Av(X).

En faisant successivement v = i, v = 2, ...,v = ndans la formule précédente, on obtiendra la série des identités

A^,-f-A.(K)r=A.(X), Aa:, + A,(K) = A,(X), ..., Aar, + A„(K) = A„(X).

Les quantités Av(X) sont des fonctions linéaires et homogènes de X4, Xa, ..., X„; par suite, toute solution du système

annule les déterminants Av(X) et, par suite, satisfait au système

Aa:, -f- A,(K) =0, Aar, 4- Aa (K) = o, ..., Aj7„+ A«(K) =0.

Inversement, dans l'hypothèse admise de A^o, la solution du système (2) satisfait au système (i).

Car, si l'on multiplie la première équation du système (2) par a^^t , la deuxième par a^,^, . . . , la dernière par a^^n^ en ajoutant membre k membre les équations obtenues, il viendra

A [a^,x Xt -4- «H.» ^a -t- ... H- a^,n^n) -+- a^,i A, (K) -h 0^1,2 A2 (K) -h ... -f- ûf,*,n A„ (K) = o,

ou bien

A(Xp. — K,,) -+- ay,,t A, (K) -4- ap„,A,(K) H-. . .-f- a^,,» A, (K^) = o;

mais

a^.,A,(K)-4-fl^2A,(K)-i-. ..-ha^,„A„(K) — K^A

( 7) est, au signe près, le déterminant d'ordre (/^ + i)

un,"

«ji,n K,

qui est identiquement nul» comme ayant deux rangées identiques; l'équation précédente devient donc

et, comme A^ o, on a Xji = o pour toutes les valeurs de jul depuis jul = i jusqu'à fx = 7i.

On voit donc que, si A^o, les systèmes (i) et (2) sont équivalents, et le système (2) donne pour les inconnues o^o x^t ..., x^ des valeurs uniques et déterminées.

Discussion.

2. Considérons actuellement le cas où le déterminant A est égal à zéro, et supposons en outre que tous les déterminants mineurs d'ordre supérieur à y» (/? < /i) soient nuls.

L'un des déterminants mineurs d'ordre/) est supposé différent de zéro; supposons que ce soit le déterminant

Alors le système des équations X, = o, Xj = o, . . . , X^ = o sera satisfait pour des valeurs uniques et déterminées de â;^ , â?2, . . . , o?^, quand on aura attribué aux inconnues Xp^^y ^/h-2» • • •> ocn des valeurs arbitraires, mais déterminées.

Considérons le déterminant

ap,\

C'est un déterminant d'ordre p + if qui, par hypothèse, est nul.

Multiplions les éléments de la première colonne de ce déterminant para?,, ceux de la deuxième par x^, ..., ceux de la p"^^^ par Xp, ceux de la dernière par i ; ajoutons par rangées horizontales les éléments ainsi modifiés, et substituons aux éléments de la dernière colonne les sommes ainsi obtenues, le déterminant ne changera pas, et l'on aura

«^+a,l «/>+tt,2

>,« ^ii"i"«2,p+p "— Kj )

3lfp^% "^ • • • ~^ ^

^p,p-*-l ^/»+l ^p,p-hi ^/»4-2 • • • «^,«1 <^#l ~+" ^p,p-¥^ Kp )

«/ï+a,/» ( ^^+ï «/»-4'«,y»4-» ^/»+i ^ «/>+a,p+2 ^yH-2 "— • • • Qp-i-a^f, Xn -f- Qp.^^^p^^ — A/>4-a I

Les coefficients de â^p^i, 07^3, ..., â7„ sont des déterminants mineurs d'ordre/> + i, qui, par hypothèse, sont tous nuls; par suite, l'équation se réduira à la forme simple

, . . (lp,p

Qp^

«/»-Ml,l

. . • ap.^^,p

. . . €lp+a,p

Si l'on considère un système de valeurs de x^, x^^ ..., Xp^ .... x„ qui annulent X,,X2, ...,Xp (ce système est formé, comme nous l'avons vu, par des valeurs arbitraires de «7^i, Xp^^* •••» ^n et par des valeurs correspondantes déterminées de x^^ «?2> •••> ^p)f pour ces valeurs,

Téquation précédente se réduira à

fli

p-^-tt

et, comme le multiplicateur deX^» est, par hypothèse, différent de zéro, l'équation X^h^= o ne pourra être satisfaite pour les valeurs des inconnues qui annulent X,, X2> .... Xp que si le déterminant

'jï./i

yi-f-a

est nul. Si ce déterminant n'est pas nul, Téquation Xp+a= o est incompatible avec les /> premières équations; il y aura donc, dans le système proposé, autant d'équations incompatibles avec X4 = o, Xs = o, ..., Xp = o, qu'il y aura de déterminants (a) différents de zéro.

Cas où le système proposé est homogène.

3. Ce qui précède montre que, dans le cas où A^o, un système linéaire et homogène ne peut être satisfait que pour des valeurs nulles des inconnues.

Si A = o et si en outre tous les déterminants mineurs d'ordre/? -h i sont nuls, sans que tous les déterminants d'ordre /? soient nuls, la discussion précédente montre que, si

les équations X, = o, Xo = o, . . . , Xp = o sont satisfaites pour des valeurs arbitraires de Xp^t, ^p+2» .. , ^/i et des valeurs déterminées correspon-

liantes de x^, X2, «..» Xp\ les équations Xpf.^ = o pour toutes les valeurs de a depuis a = ï jusqu'à 0L^=^n — p seront satisfaites pour les mêmes valeurs des inconnues. Ces n^ p équations sont donc des conséquences des/? premières. Il n'y a jamais incompatibilité, puisque les déterminants tels que (a) sont identiquement nuls.

Le degré d'indétermination est marqué par le nombre des déterminants mineurs de A d'ordres différents qui se sont tous annulés.

Les quantités Xp^.a sont des fonctions linéaires et homogènes de X,, X,, ..., X^, car on aura d'une manière générale

ûl,.

ûl..

fl/,.t

. . ap,p

X^-Ml

THÉORIE DE UÉUMINATION.

Conditions pour que deux équations aient une racine commune. 4. Considérons d'abord le cas de deux équations du même degré

f{x) = AtX^ H- A, x^-' -f- . . -f- A« = o,

et cherchons la condition nécessaire et suffisante pour que ces deux équations aient une racine commune.

Formons pour cela les équations de Cauchy, dont la forme générale est

Ao .rt^-' -*- A. x^-^ -h ... -h A^-, __ A;, x^-^ -f- A,^.4-, j-"— »^-^' -4- . . . ^. A„ B,x^-' -r B, x'^-' -h ... -h B^-, "" B^ x^^ 4- Bp,+, x*-^-*-' -K ...-+- B^'

Désignons par G^y, le coefficient de oc^^"* dans cette équation mise sous forme entière ; elle pourra s'écrire

G^., j:*-* -h G^,» x""* H- . . . H~ G*,v x^'" -f- . . . -t- Gji..,-, x -h G,*.„ = o.

Appelonsy^ et ^^ les polynômes de degré ii

f^ = Ao xî* -h A, x^-' -^ . . . + A^.

o^= Bo xv- 4- B, a;!*-' H- ... -h B., ;

on sait que Téquation précédente peut aussi se mettre sous la forme

Cela posé, considérons le déterminant

G,,i G,,i Gi.3

G .1 Ga,, G,,3

G,,»-, Gï,

'■•,1 vil», a tj«i,i . . . ilM,j||i \Jm,t

Multiplions les éléments de la première colonne de A par x"'-\ ceux de la seconde par af""^^ ..., ceux de ravant-dernière par x et ceux de la dernière par i ; faisons la somme des produits par rangées et substituons aux éléments de la dernière colonne de A les sommes trouvées; le déterminant A ne changera pas» et Ton aura identiquement

G,,i Gi,5 ... G,,«,, fo 9(0:)— 9» f(x) G,,, G,,, ... G,,«, /, 9(j:)— cp, f(x)

G^,, • Gy,,, . . . G^,«, /^-., 9 (x) — 9^, f(x)

G»,i G«.5 ... Gm,m-i fm-\0[x) — C^m^- f{x)

OU bien, en séparant.

A -- o ix)

Gi.i G,.,

Gi,i G,,a

G,,», fi

j *^m,t vïiiii.î • • • ^m,m — \Jm—\

Gj,,

Gi,j

Gî,a

• • iii,iii— 1 9o . . Gj,!»-! 9i

vlm,i vl/w.î • • • \JliH,m-^\ 9ii

Les polynômes que multiplient respectivement f{x) et ^{x) sont de degré /w — i. Soit, pour abréger, V^^^ le premier et V,„, le second, Tidentilé précédente deviendra