TOME TROISIEME

(Fascicule 1")

aux équations H afférentes à une surface cubatique : elles ont pour dimension quatre et sont obtenues par l'application du procédé réglementaire à quatre formes cubiques ternaires 9y (^i, ^i, ^3)>y = i, 2, 3, 4» telles que les quatre cubiques planes 9^ = aient six points communs ou fondamentaux.

Ayant réussi à tracer les courbes intégrantes sur plusieurs surfaces cubatiques, j'ai pu énoncer divers théorèmes d'intégration relatifs aux équations H en question. Mais toute cette théorie présentait une lacune grave : il n'était pas expliqué comment, une équation de dimension quatre étant donnée, on reconnaissait si elle rentrait ou non dans le type H. C'est cette lacune que le présent Supplément a pour but de combler. La solution de la question peut seule rendre pratique la méthode d'intégration développée au Mémoire.

Ainsi le problème est celui-ci :

Etant donnée une équation de dimension quatre^ trouver les condi' tlons nécessaires et suffisantes pour qu'elle puisse être obtenue par Vapplication du procédé réglementaire à quatre formes cubiques ternaires ^j{x^, x^, x^)y à six points fondamentaux. Si les conditions sont remplies, construire les quatre formes <^j et la surface cuba-tique £, à laquelle l'équation est afférente, comme réglementaire.

Des cas particuliers du problème ont été traités dans les quatre derniers Chapitres de la troisième Partie du Mémoire; mais c'est dans le présent Supplément qu'est donnée la solution générale et complète.

11 va sans dire que ce Supplément fait entièrement corps avec le Mémoire. Sauf avis explicite contraire, la terminologie et les notations sont les mêmes.

Pour arriver au but proposé, il est nécessaire d'approfondir deux théories déjà traitées, mais incidemment, dans le Mémoire. Ce sont celles :

Des points polycriliques;

Des transformations que subit une équation différentielle du premier ordre et du premier degré, par l'effet d'une substitution Cremona.

Ces théories sont entièrement nouvelles; elles sont intéressantes par elles-mêmes, car elles fournissent plusieurs cas intégrables nouveaux. Aussi m'a-t-il paru opportun de les exposer avec quelques détails.

INTRODUCTION

La première Section du Supplément est consacrée à Texposé et aux applications de la théorie générale des points polycritiques. Soit une équation P de dimension m :

o=iP =

= ^Pi{^dx) (e:ni,2, 3);

P,-= forme ternaire en Ai d'ordre m.

En vertu d'une définition donnée au Mémoire, un point sera polycritique d'ordre n ou n-crltique, si pour ce point on a

indépendamment des différentielles

A cette définition, purement algébrique, est substituée d'abord une autre géométrique. Si l'on dit qu'un point x d'une courbe est attaché à cette courbe dans un connexe, lorsque œ forme avec la tangente en a: à la courbe un élément du connexe, il vient la proposition suivante :

Pour qu*un point x soit n-^ritique pour une équation

^^^^i{xdx)i—o,

il faut et il suffit que toute courbe passant par x possède en x n points consécutifs attachés à la courbe dans le connexe

2 Pi Ui = G.

Ce théorème permet de donner l'expression générale de l'équation de dimension m qui admet un point donné x^ = ^2= o, par exemple, pour w-critique. Voici cette expression

Ui::ii{x dx)iy Ui^z: x^dxi — x^dx^, ...;

4 SUR LA THfiORIB DBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

^nn •••> ««> *m> •••> c,^ tz: formcs binaires en a?,, j?, d'ordre égal à l'indice.

Si C;,, est identiquement zéro, le point devient par définition n^hyper critique.

Il existe pour un /i -critique w, outre son ordre n de polycriticité, un second nombre caractéristique, la catégorie. Toute droite issue de 03 y possède n points attachés, confondus, ainsi qu'on l'a vu plus haut. Mais il existe des droites pour lesquelles un (/i-hi)'*™° point attaché vient w. En général, il y a /i -h i pareilles droites; s'il y en a /iH- 1 -+- /, l'entier / est la catégorie du point 'o. En général, la catégorie est zéro pour un /i-critique; elle est toujours zéro pour un w-hypercritique ; de plus oSlSm — n.

Je fais un usage fréquent de la catégorie.

Dans une équation de dimension m

P =2 P'(^ dx)i:=^^Aidxi=^{Px)idxi,

les points critiques, qui sont en général monocritiques, sont, comme

on sait depuis longtemps, les w*H-mH-i points communs aux trois

courbes de degré m -f- 1

Je démontre que, dans la supputation de ces /w^-+-/n-+-i points, un point

/i-critique de catégorie / absorbe n} — /i — i-h l{n — 2), «-hypercritique absorbe /i* points.

Gela me permet de donner des limites supérieures pour le nombre des polycritiques et polyhypercritiques d'une équation ainsi que des règles pour la recherche des polycritiques parmi les points fixes du système de courbes planes de degré m 4- 1

a = Vr,A/=o, R^=const. arbitr.

Sont énumérées enfin les relations entre les points fondamentaux de quatre formes ternaires de même ordre cpy, et les polycritiques et polyhypercritiques de la réglementaire qui provient des quatre formes cpy. Si £ est la surface donnée par

INTRODUCTION. 5

à un point w fondamental /"p*** des ©y (point r"pi® commun aux quatre courbes 9y=zo) correspond sur ^, en vertu de théories déjà classiques, une courbe h unicursale d'ordre r.

En général, w est pour la réglementaire un point ir-critique; w devient i r-hypercritique si h est une intégrante de £ et (2 r -i- i)-critique si h est une nodale de £,

Ce résultat pour r = i avait déjà été démontré au Mémoire.

L'application principale de toutes ces théories se trouve dans la troisième Section, où je traite le problème, objet essentiel du présent Supplément; mais elles conduisent aussi à Tétude de quelques cas où l'intégration est faisable ou la dimension peut être abaissée. La polycriticité est, en effet, une singularité dont on peut profiter dans nombre de cas.

Ainsi, si une équation de dimension m possède un point m.-critique, on est ramené à intégrer une équation de Riccati; s'il existe un m-hypercritique, l'intégration n'exige que des quadratures.

Ainsi encore, la présence de poly critiques en nombre suffisant donne souvent sans calcul l'intégrale générale : tel est le cas de quatre dicritiques pour la dimension deux, le cas d'un tricritique et de trois die ritiques pour la dimension trois.

J'étudie enfin les équations dont la dimension m n'est pas inférieure au degré de la surface représentative, définie comme au premier Chapitre du Mémoire. Je construis explicitement ces équations; voici leur propriété intéressante au point de vue pratique :

Elles ont toujours ou un point /i-critique, tel que 2/1^7/1 + 4 ou un /i-hypercri tique tel que 2/1 > m. S'il existe encore un point n' -critique ou n' -hyper critique y la dimension peut s'abaisser de n' unités. Comme il existe au moins un monocritique, en général, la dimension s'abaisse d'une unité au moins.

Au cours des, présentes recherches, je me suis demandé si les considérations exposées dans le Mémoire ou le Supplément n'avaient pas un lien intime avec la méthode d'intégration de M. Darboux, fondée sur la connaissance d'un nombre suffisant d'intégrales particulières algébriques. A la vérité, dans le Mémoire, je me suis attaché à ne traiter par mon procédé d'intégration que les équations auxquelles la méthod|%«^e M. Darboux ne s'appliquait pas; mais il restait à mettre en lumière le lien que ne pouvaient manquer d'avoir ensemble

deux théories relatives, Tune et l'autre, à la même nature d'équalions différentielles. C'est à cela que je consacre la fin de la première Section du Supplément. Entre la méthode de M. Darboux et la théorie toute géométrique des courbes intégrantes tracées sur les surfaces, il n'existe aucune parenté ; mais il est aisé de montrer le lien de la méthode de M. Darboux avec la théorie des points polycritiques et polyhypercritiques. Ce lien le voici : M. Darboux a démontré, ne s'occupant que des points qu'il appelle singuliers, et qui sont mes monocritiques, le théorème suivant (*) :

L'intégrale générale est connue dès qu'on possède

m{ni -h i)

intégrales particulières représentant des courbes qui ne passent pas par q des points singuliers.

Reprenant et généralisant l'analyse de M. Darboux, je fais voir que, dans la supputation des q points singuliers, un n-critique compte

pour — 2 points et un n- hyper critique compte pour

Ai(/H-l) .

points.

La deuxième Section du Supplément est consacrée à l'étude des transformations que subit une équation de dimension m par l'intervention d'une substitution Cremona

X,=: forme ternaire d'ordre /; / est aussi Y ordre de a.

Soit (tP la transformée par a de l'équation P de dimension m; o-P est évidemment comme P une équation différentielle du premier ordre et du premier degré. Je cherche la dimension et les points critiques de (jP.

Les expressions point fondamental, ligne fondamentale d'une substitution Cremona ayant leur signification habituelle (*) {voir, par

(*) Bulletin des Sciences mathématiques^ tome et série II, p. 89.

(■) Dans le texte, je dis lif^ne essentielle, point essentiel de o-, réservant fondamental pour les points fixes de quatre formes cubiques cp^, fréquemment considérées au Mémoire ou dans la troisième Section du Supplément.

INTRODUCTION

exemple, le Tome II des Leçons sur la Géométrie de Clebsch, traduction Benoist), on a les résultats suivants :