I. o"P a pour dimension

Im -\- i{l — i) — li rny

la sommation s' étendant à tout point qui est à la fois n-critique pour V équation P et fondamental r^^^^ pour la substitution Cremona a"^,

IL Un point' fondamental r^p^^ de (j est un r{m -\- i)~ critique pour (tP.

III. Soit GJ un point fondamental r"^p'^ de a; soit ^ la ligne fondam,entale correspondante. Si £2 est une intégrale de P, co est r{ni -h 2)hypercritiq ue pour o- P .

Ces propositions fournissent tous les points polycritiques et polyhypercritiques de o-P et aussi quelques théorèmes d'intégration. Ainsi :

Se ramène à la dimension zéro ou un et est, par suite, intégrable toute équation de dimension quatre ayant trois tricritiques, ou un tétracritique et quatre dicritiques, de dimension sept, ayant un hexacritique et quatre tricritiques et beaucoup d* autres.

Enfin je me sers de substitutions Cremona dans l'analyse qui remplit la troisième Section du Supplément,

Ayant ainsi établi les diverses théories auxiliaires indispensables, j'aborde le problème qui forme l'objet essentiel du Supplément.

Il s'agit, comme on l'a vu, de savoir, étant donnée une équation P de dimension quatre, s'il existe quatre formes cubiques ternaires cpy, telles que, en leur appliquant le procédé réglementaire, on reproduise P. Les cpy doivent être, d'ailleurs, telles que les quatre cubiques planes cpy = o, y = i , . . . , /J aient six points communs ou fondamentaux, que je suppose, comme au Mémoire, tous distincts.

L'analyse du problème est longue et minutieuse, et remplit toute la troisième Section du Supplément. Cela tient à ce que la figure formée par six points dans un plan est passablement compliquée; les cas particuliers à considérer séparément sont assez nombreux.

Par contre, la solution du problème est fort simple :

Pour que les formes cpy existent, il faut et il suffit que V équation P ait six points dicritiques. Ce sont précisément les six points fonda-

mentaux. La condition n'est plus suffisante lorsque les six points sont disposés suivant les trois schémas :

Fig- I- Fig. a. Fig. 3.

Il faut une condition supplémentaire dans le cas des schémas I et If, deux conditions pour le schéma 111.

Je donne, explicitement bien entendu, ces conditions supplémentaires. Je construis les quatre formes cubiques ternaires c^j et j'établis réquation de la surface cubatique £ représentée par le système

Zj^=. (^j{Xl, X^y «373).

La théorie des réglementaires afférentes à une surface cubatique, théorie qui constitue le fond du Mémoire, se confond ainsi avec celle des équations de dimension quatre à six points dicritiques. L'existence de dicritiques est facilement décelée par les règles établies dans la première Section du Supplément. Une fois reconnue, Téquation permet, par les procédés exposés dans la troisième Section du Supplément, de remonter à la surface cubatique £ à laquelle Téquation est afférente comme réglementaire. Il ne reste plus alors qu'à traiter £ par les diverses méthodes géométriques données dans la seconde Partie du Mémoire pour la recherche des courbes intégrantes sur les surfaces cubatiques. Il pourra se faire aussi que Téquation perde un facteur en xi ou possède parmi les six dicritiques un ou plusieurs tricritiques. On appliquera alors les diverses considérations contenues dans la troisième Partie du Mémoire et relatives à ces cas.

THÉORIE 6ÉNÊBALE DES POINTS POLYGRITIQCES.