TROISIÈME SECTION

PROBLÈME INVERSE DU PROCÉDÉ RÉGLEMENTAIRE; ÉTUDE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE DIMENSION QUATRE A SIX POINTS DICRITIQUES.

45. Dans la première Partie de mon Mémoire, j'ai fait voir qu'une équation différentielle quelconque pouvait être considérée comme une réglementaire, c'est-à-dire, comme obtenue par l'application du procédé réglementaire à quatre formes ternaires de même ordre. Le problème inverse du procédé réglementaire consiste, une équation II étant donnée, à trouver, pour chaque ordre donné, les quatre formes ternaires quadratiques, cubiques, etc., suivant le cas, qui, par l'application du procédé réglementaire, reproduiraient H. En particulier, j'ai très longuement étudié, dans la troisième Partie de mon Mémoire, les équations de dimension quatre, obtenues en opérant réglementairement sur quatre formes ternaires cubiques à six points fondamentaux. Il est fort important, pour compléter les divers théorèmes que j'ai démontrés sur ces équations et rendre ces théorèmes pratiques, de savoir reconnaître de pareilles équations parmi des équations données quelconques.

C'est le problème que je vais aborder.

W. Dans tout ce qui suit, j'appellerai P une équation de dimension quatre obtenue par l'application du procédé réglementaire à quatre formes cubiques ternaires 9y(^i, ^j, ^3), (7 = 1,2,3,4) à six points fondamentaux, c'est-à-dire telles que les quatre cubiques planes cpy= o aient six points communs, ou, si l'on veut, telles que la cubique générale du système triplement infini 4>

9 HZ 2 X:, cpy = o, kj = const. arbitraire.

possède six points fixes (indépendants des k) ou fondamentaux que je supposerai distincts.

On a vu dans le Mémoire, et il résulte au reste du théorème du n® 11, que les six fondamentaux sont dicritiques pour P.

Ainsi, pour qu'une équation de dimension quatre puisse être obtenue en opérant réglementairement sur quatre formes ternaires cubiques à six points fondamentaux, il faut que V équation possède six points dicritiques.

Je vais démontrer que la condition nécessaire est en même temps suffisante en général et étudier les cas d'exception.

Pour abréger le langage, je vais appeler n une équation de dimension quatre à six points dicritiques. Tout se ramène à démontrer qu'une équation II est en même temps une équation P, car nous venons de voir qu'une équation P est en môme temps une équation H.