Si l'on a pour les quatre formes
9i~^^iJ^J (hj=i, î^i 3, 4),
^j désignant aussi une forme cubique ternaire avec les mêmes points fondamentaux et les a des constantes de déterminant ^ o, la réglementaire P sera, comme on l'a longuement vu dans le Mémoire,
[.2]jlQj-h[34]i34
[23]J23J-t-[i4]ii4Î-l-[3i]i3jj+[24]J24| = o,
[y]=-[yv]=(y)-(«y)',
Il •^*ly
an a^j
\ij\ désignera
ou
U^ Ui Uz
4'tl ^*î +'"3
+yi ^'yj ^yj
ce qui est indifférent, les deux quantités précédentes ne différant que par un facteur infinitésimal de proportionnalité indépendant des indices I et y.
Four »hrf»<^fT. j^ fUr-lirrif-rai If*!* ^r\ quantifés [12]^ [ î-M» [ ^'1- ['^l^ f ^^ilt f 'H \'^^ ^-» ^* '^^ '^'' ^'' *^ rf-pf*f:ti\i>rnent. D'ailleurs
irr le fJélerminanl chanjré de si^e des a,
jMii?*fjiie Ton a le?< identités bien connue^
Donc
AA -^BB'--CC>fo.
48. LeiHE' — Soient %ix constantes arbitraires A, B, C, A', B', C; ^7/2 /?<?M^ toujours trouver seize constantes aij(jf 1 =1 1, 2, 3, 4) telles que les six quantités [s?3], [3i], [12], [i4]> [24]> [^^^ formées avec les atjj comme il est dit au numéro précédent, soient respectivement proportionnelles à Ay By C, A', B', C
ConservonH les notations du numéro précédent; on a seize conslanteH a/y pour satisfaire i*» aux cinq conditions de proportionnalité el 2^ aux deux conditions
identités entre les a^y, mais équalions entre les quantités ((/*) et ((/*)', au nombre de douze. Ces douze quantités sont ainsi liées par sept conditions.
Voici conmient se fera le calcul effectif des a/y. Prenons arbitrairement les buit cof^fficienls a^j et a^jy ce qui fournit les six quantités {ij) ; on aura pour déterminer les((/)' le système
('43)'-pA 4-(23), (3i)'=pB 4-(3i), (12)' r=: pC -f-(i2), (i4)'^pA'-i-(i4), (24y==pB' + (24), (34y=^pG' + (34).
Alors, pour déterminer p, vient l'équation
(t^0'(34)'4-...:=:ro---:pHAA'-+-BB'4-C(7)-+-p[A(i4)-+-A'(23)
-hB(24)-f-B'(3i)-4-C(34)-+-C'(i2)],
d'où p, ol par consécpieni ((/)'. On a ainsi les six coordonnées bomo-
PROBLÈaiE INVERSE DU PROCÉDÉ RÉGLEMENTAIRE.
gènes {ij)' de la droite gy de l'espace
^^a^jtjz=z2^a^jtj-=zOy y = 1, 2, 3, 4,
qui se trouve connue; prenons deux plans
passant par g; on aura,/ =i, 2, 3, 4,
X, |JL, V, /x' étant quatre arbitraires dont le déterminant est*donné par la condition
R, Ry
S, Sy
{ijy-
Les constantes atj sont déterminées donc en tant que besoin. Il est facile de se rendre compte pourquoi elles ne le sont pas complètement. Considérons la surface i {voir le Mémoire passim) définie par les équations
La réglementaire ne change pas, ainsi que les rapports des [ty] ou des A, B, . . ., C, par l'intervention d'une substitution régulière linéaire quelconque, qui cependant change les a^y .
L'équation qui donne p plus haut
p(AA'+ BB'-h CCO-+- A(i4) + A'(23)
n'est plus soluble par rapport à p si
AA -f-BB -+-CC' = o.
Alors A, B, . . ., C sont les coordonnées d'une droite h. Au lieu de prendre complètement arbitraires les huit coefficients a^j et ajy, prenons-les de façon que la droite
2^a,jtj — ^a^jtj~o
rencontre la droite h; alors
SUR LA THÉOBIB DKS ÉQUATIONS DIFFÉUEKTULLKS.
L'équation (i) qui donne p devient une identité et on peut prendre arbitrairement les (f/)' et les huit coefficients a,y et a^j.
On a vu, au numéro précédent, que si AA'-hBB'-h CC'=o, le déterminant des aij est zéro; la surface i est un plan, mais cela n'empêche pas l'application du procédé réglementaire aux quatre formes çy, ni la formation de la réglementaire.
49. Pour montrer que toute équation différentielle II ou II == o de dimension quatre à six points dicritiques est en général aussi une équation P ou P = o, obtenue en traitant par le procédé réglementair quatre forrpes cubiques 9y, telles que le système O
(^—^kj^jzzio (A:y=const.),
ait les six points dicritiques pour points fondamentaux, il suffira de montrer qu'en posant d'une façon convenable, «/y =i const., ^y=: forme cubique ternaire.
n est identique à
Aja3{-hBJ3i}
Cii2J-t-A'!i4|-^B'i24|-hC'!34i,
\ij\ ayant la même signification qu'au n° 47 et A, B, . . ., G étant six constantes arbitraires.
En effet, le lemme du numéro précédent permet, les ^j étant connues, de remonter aux Uij et enfin aux cp,. L'application aux 9,- du procédé réglementaire reproduira II. c. q. f. d.
