SUR LA THÉORIE DBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Multiplions par Xi et x^, puis ajoutant,

Alors les relations (o) du n'' 83, combinées avec la précédente, donnent les égalités

= — w, r(Ki^,-f-Kî:r, ) -h (wi^ir -f- //jo^îr) (Ki-4- K*) -h mr{pzUi — p^Ui— piU^) -h n rip^Ui — piUj— P2U3).

aUi)

En en tenant compte, ainsi que des formules (i) du n° 82, il vient

n = — 2koP^(ui-{- Mj— W3) H- 2p /(^Qih-h (Swi-h-aM,) -h 2po{x^ — Xi) [th{pXi-{-rpi) — u^ipXi-\-rpi)] T- [m{xz-\- Xi) -h n{x3-\- x^)]

X [— 2piUiX^-\- 2piUiX^-^- UiipiXi — PiX^)].

Le coefficient de kx est { 34} (78); faisons-en abstraction, sauf à le rétablir en fin de calcul; il reste, tout calcul fait,

n = (/?/•) M H- 2p r(^Ui-h cciif-h gou^), M = pi ^3(^1 — ^1) -h m{x3'h Xi) -+- /i(x3 4- j:,).

U* II9 Ui

Pi Pi o

85. Nous avons ainsi terminé le calcul nécessaire pour exprimer la dicriticité des six points et, si nous explicitions les diverses identités que nous avons successivement rencontrées, nous pourrions trouver tous les coefficients de H en fonction d'un certain nombre d'entre eux. Mais le calcul sera beaucoup plus simple de la façon ci-dessous :

Prenons, comme au numéro précédent.

H.=z{pr)M -h 2/?/-(j3ai-+- «'^2+ ^0^*3) = o.

On voit sur-le-champ que les cinq points

(sif d7j — ,372 — ^9

Wl> ^î> W3, CO4, />r=ri=o

sont dicritiques. J'aurai tout exprimé si j'exprime la dicriticité de wg

.2*1 nn ûOf :i^ «^s»

Posons

Un calcul simple montre que l'annulation identique de H et de dH. pour ^,1= j7j=: — ^3 est assurée par les conditions

a == A -f- B — po— ^0» (3 =1 — C — J) — po — ^0-

Alors n, après rétablissement dans H^ du terme en r* (79) et du terme en j34j, devient une combinaison linéaire homogène à coefficients arbitraires des \ij\ augmentée du terme

gçiPr{u^-\-u^—Ui).

L'identification, avec la réglementaire P construite au n° 78, ne sera donc pas possible en général. Il y aura une condition à remplir

Nous sommes ainsi dans un cas analogue à celui de l'hypothèse III.

Hypothèse VI.

86. Les six points dicritiques sont disposés suivant le schéma

Fig. i3.

Prenons le triangle 128 pour celui de référence; soient alors «2 «3=1, o, aj, «3 les coordonnées du point i',

1IO SUR LA THfiORfE DES ÉQUATIONS DIPPÉRENTIBLLSS.

Construisons le système <b des cubiques planes passant par les six points I, a, 3, i', 2', 3'. Soit 9 une cubique du système

^itz*^\ «^î^3 "^" ^111 «3^1 «^2 "^ ^111*^1 ^\ ^~ ^i 13*^1 "^a

Si je fais j7|-=:o, il reste, après départ de œ^x^y l'expression

qui doit être divisible par

de même pour j72=o et x^^=zo. Ainsi 9 est une combinaison linéaire bomogène des quatre formes ternaires cubiques

']f^ = x^x^oif a = «3 ^, — a, cT 3,

+3= ^1 ^iV^ y = ya -^^i — yi ^j,

^|;^ rm iZTj iS^j^g,

La réglemehfaire P s'obtient par les calculs ordinaires, simplifiés grâce à la symétrie des indices i, a, 3 et leurs permutations circulaires.

Posons

«'= (3iyi "1 + (3iyî Mî-+- yi ^zUz~ (x\

(3' = yj «î «2 + yj «3 "3 -H «jyi "i = P, y'=ia3(33"3-H«3Pi«i^-(33«j«ï=yi

Alors il vient

|i2J = a7Î(/j7ij;j— a(3«3), — {34{=^î^l(yi«i-+-y2W2),

I3iî- , -^4! = ,

P ==r AJ23| -h. . .-h C'j34 ! ^= Mi^Ja -h Wj^'j^ -+- «3^5 c,

a=z-A[2(3y + (33y2^;]-+-^l(C'y,-B?;)4-^J(B';3,-.Cy;), ^=-T-B[2ya-i-yia3x2] 4- . ..,

sous le bénéfice bien entendu de ^ ^/, .r/— o.

PROBLÈME INVERSE BU PROCÉDÉ RÉGLEMENTAIRE. Ht

Reprenons le schéma et appelons i^ le point où la droite i'3' rencontre i3; soient 3'' et i" les points analogues sur 21 et 32, On voit

facilement que la valeur commune des trois rapports anharmoniques

3ii'i" est

Cette remarque sera utile plus loin.

87. Construisons Téquation H de dimension quatre qui a les six points I, 2, ..., 3' pour dicritiqûes. Les trois côtés du triangle de référence sont des intégrales, comme ayant plus de quatre points attachés, savoir deux en chaque dicritique.

Il vient ainsi

Hi^cTia', \ï^^=ix^a\ \iz:=-x^a\

«'=222 ^''^* ^' ^^ ^''^ ^'ijic^ const., b'^=i , b'ijk'=^ const.,

c' =: , c'ijjf =: const.

(notation habituelle des formes cubiques ternaires)

{iyjy A = 1,2, 3).

Les sommets du triangle de référence sont déjà monocriliques comme interseclions de deux intégrales. Exprimons qu'ils sont dicritiqûes.

SUR LA THÉORIB DES ÉQUATIONS DIPPÉRENTIELLRS.

On écrira

ux^ x^ ^% *^

dX^ x^ **^% ^

Pour cTj^: 07,= o, dJl devient

dxi

Xi a' 4- a' dxi

dxi

b'dx^

dx^

c' dx^

et la dicrilicilé existe si b' — c'=: o. Cela exiffc

^111 = et, par permutations circulaires,

a' =z {"kxl -\- ii.x\ -h vx\)

-lix\

— vxl-\-

Sous le bénéfice de ^w/^/, on peut biffer \x\-^ iix\-^ vx\ ou,

ce qui revient au même, faire

^ÎJÎ ^3^3 ^111 ^3 33 '-^111 ^S

Alors, a" y b\ c^=: formes quadratiques ternaires,

a'z=^,a"-l-3^,j73(a;3,^2-ha',j3a?3), b' — x^ b" + 3 573 ;r 1 ( «3 1 3 ^3 -f- a 3 4 j arj ),

HX^^ u^x^a' ~^. . .^=1 u^x\a" -^ u^x\ b" -{- u^xlc"

+ ^u^x^x^x.i{a\^^x^-\- a\^^Xz)

I" *J U<iX ^ X^X^ ^ . . . j — }— o li^X^ X^ X^ y. . , j.

Mais, par exemple,

3WiJ7iJ7j^3(aj3j.r24- «233^3) ==■— ^X2Xs{UiXi-^ UzXi){. . .)

= it^xK. . .) -h UzXl{. . .).

PROBLÈME If^YERSE DU PROCÉDÉ RÉGLEMENTAIRE.

Il3

Groupant les termes en w,^J, u^^l, u^xl ensemble, on voit qu'il reste

« = vv

Clfj ^yi>

^—^^àij Xi xj , bij ■=^bjt.

Cij XiXj^

Cij — Cji,

Il y a dix-huit constantes homogènes, coefficients des trois formes quadratiques ternaires a, ô, c, mais dix-sept seulement sont distinctes et arbitraires; car, Sians changer l'expression de II, on peut

ajouter

mQXxX^Xz{iixX^-\- UiX^-h ihx^)

et profiter de la constante arbitraire m^ pour établir une relation entre les dix-huit coefficients a,y, 6,y, c^j, par exemple

88. Exprimons maintenant la monocriticité d'abord des trois points 1^ 2', 3',

î^i, o, [33, «2^3— (^aPirrr/iyîZzri.

Écrivons pour II

dx^ uT,

La monocriticité de 3' donne

dx'

c'est-à-dire

X2 x^a — Xib -

pour 3^,

Univ. de Lyon, III. — A.

Il4 SLR LA TnÉORIB DES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES.

J)e même, pour 3', on a

dll —

dxx

y\da-\' i^^a dx^

dx^

y 5 dh H- 2y^b dx^

dx^

et la dicrilicilé exige, sous le bénéfice du théorème d'Euler, succès sivement Tannulation identique de

dW 3= ^2 db — yi da -\- 2{ù dx^ — a dx^ ),

et les relations

db

db

' oyi

ôb^

i ^^' àys

-yi

âa

àyx da

da

da

dyx

db^ dyx

da àyt

db^ dy2

ày,

da db . ^ , . da db . ,

-r—9 -j— étant ce que devient -r — ? 3 — quand on remplace ^,, x^, x^

(fyi oyi dxi oxi

par yi, y^, o.

On vérifie par un calcul simple que les quatre relations (o) et (i) se réduisent à trois distinctes

7i(«ii7Î

7Î(«ii7i 7i(«3iyi

^22yl),

Les trois équations (3), augmentées de six nouvelles obtenues par permutations circulaires des indices i, 2, 3 des lettres a, b, c, a, |3, y, donnent un système H de neuf équations linéaires homogènes entre les dix-sept coefficients homogènes distincts de H. En satisfaisant au système H, on assure la dicriticité des points i', 2', 3'. Il est complètement construite, puisqu'elle est assujettie seulement à avoir les six points i, 2, 3, i', 2', 3' pour dicritiques.IIaura 17 — 9 ou huit constantes homogènes arbitraires, tandis que la réglementaire P n'en a que six. L'identification entre II et P ne sera donc pas possible, en général, et exigera au moins deux conditions entre les coefficients de IL

89. Supposons d'abord que, entre les six points i, 2, 3, i', 2', 3', n'existe aucune relation particulière de position. Au lieu de construire n construisons l'équation II'

U'^ n - P rrr O :

n aura les six poinis pour dicritiques en même temps que IF.

Reprenons l'expression de la réglementaire P donnée au n° 88, il

viendra pour II'

n' = Mj j: Ja'-H iizJC'l b' -h //a x^c,

a\ b', 6''=:= formes quadratiques ternaires.

Mais nous pouvons disposer des six constantes A, B, C, A', B', C, arbitraires de P, de façon à faire

— a^i-hC'y^ ~Bi3; = rt'33 = — ûas-h B'(3, — Cy; =0,

i^) l ^33 = — ^33-+- A'a2 — Cy;:=: 6;i=:— ^iiH-C'ya — Aa; — o, ( c\^—-- c,i -h B'Ps— Aa^ — Cjj = — Cii -f- A' «3— \\^[ = 0,

et II' contiendra onze coefficients arbitraires au lieu de dix-sept. Cela revient, en somme, ù faire dans II

puis, après avoir construit H, à y ajouter P.

Les six équations (o) ci-dessus déterminent les six constantes homogènes A, . . ., C de la réglementaire P. En effet, de (o) on tire

r/= yj«j2 -h B (3; y2=i yi 6,, -h Aa; y^,

et C, A', B' se déduisent sans difficulté aucune de A, B, C. Entre ces dernières existent les trois équations

A y, a; — B yj |3; = yj «22 — yi ^?n, Baj^Sj — C asy'i = ocsb^^— «.^22»

^ r3y2 ApiP2=r piC,i P3«33»

toujours résolubles en A, B, C si le déterminant

o (Xi^\ —ot3y\

puiscjue les a', ,3', y' ont les valeurs données au n° 88.

yip3

«lyi

-?îy.

ii6

Sun LA THÉORIE DBS ÉQUATIONS DIFFÉRINTIBLLÉS.

Tout calcul fait, il vient

(«î|33yi)'-(«3(3iyO'?^o,

K étant le rapport anharmonique déjà défini au n<» 86. 90. Il faut donc construire II après avoir annulé

^M> ^3Ï» ^33» ^ll> ^I1> ^It*

Le système H du n'* 88 se simplifie notablement et s'écrit

2aii

= yl(*ityî— 3y,«i2) = ?;(e3,p,— 3j3i«3,),

yi(«3r/i^-«3îyî) ^yj(^3iyi-^ ^3ïyî),

Des trois dernières, on tire, en introduisant trois quantités auxiliaires /, m, n.

Posons

a2i33yi==cy, a3Piy2=p»

Remplaçons, dans le système H', «3,, ^,j, C23, a^, bi^, c^ par leurs valeurs tirées de (i), on aura le système

3mi:iia23p*~ ^31 0"*.

Si Ton considère comme inconnues /, m, /i, leur déterminant est

Ti::! p*

PKOBLiSMB INVERSE DU PROCÉDÉ RÉGLEMENTAIRE. II 7

Le délerminarit des inconnues as,, h^y Cn est

o p* — cr*

pi — (j' o

Supposons d'abord t(t'+ 27)^0. Du système (2) on tirera /, m, n; alors le système (f) fournira «3,, «u, 6,2, 633, c^a, C3,, et H' donnera ^ii> ^2i> ^33» et toutes ces inconnues seront fonctions linéaires homogènes de ûEj,, 631, Ci, les coefficienis étant des polynômes en a„ «3, ^3,

Pj, yi, yi-

Alors on aura, d'une façon générale,

3, 0, C désignant trois formes mixtes de classe i et d'ordre 4 (Que Ton expliciterait sans difQcullé), dont les coefficients sont des polynômes connus en a,, . . ., y^ D'ailleurs, on a, entre «33, ^31, c,8, la relation (87 in fine)

Ainsi, pour que l'identification soit possible entre II et P, il faut (|ue

le groupe de termes

«83^ -h Z^3ifi + c^^€

disparaisse, ce qui exige les deux conditions

«33=:: O31 =:^ Cij.

Si p^— (J^y^o, on peut résoudre par rapport à /, m, /i et l'on pourra exprimer tous les coefficienis de II à l'aide de /, m, «; il viendra

n = P-+-/i-i-mHt-+-/it1,

^y ^, 1!l ayant la même nature que 3, <î, <£. D'ailleurs, ajoutant les trois équations (2), on a

(p*— (7*)(/4-m-h /^) — (p*— (7*)(a23H- ^31 -H ^-,2) — o, p* — cr-^o puisque p® — (7®=;z£o et l -^ m -\- n.

Le raisonnement s'achève comme plus haut, et l'on trouve deux conditions.

Ainsi, en général, les neuf conditions du système H (88) sont toutes distinctes, et sur les dix-sept constantes de II huit restent arbitraires.

ii8

ce qui fournit deux conditions nécessaires et suffisantes pour l'identiflcalion entre II et P.

91. Les raisonnements précédents peuvent se trouver en défaut pour une situation particulière des six points.

Ainsi d'abord (89) on pourra avoir

c'est-à-dire

K^— K-hi=:o et K— — I.

Si K*— K H- I :=:o, K est une racine cubique changée de signe de Tunité; le rapport anharmonique K est équianharmonique.

Si K=:: — I, le rapport est harmonique et les six points sont disposés suivant le schéma {fig> i5). Les droites ii', 22', 33' sont des intégrales de II; o est un septième dicrilique.

Si K^4- I ^o, il pourra se faire que l'on ne puisse résoudre le système (2) du n® 90, ni par rapport à /, w, n, ni par rapport à «23» ^âi» Cj2. Cette éventualité se présentera si l'on a à la fois

ou

K«i=o et (K''— i) (K* 4- 25K« ■+-!)==: o.

Les racines communes des deux équations sontK=:i, — i; la solu-

Fig, r6.

lion K =^— I esl à rejeter, car elle annule K^-h r. La solution K — 1

donne la disposition suivante {fig. 16) des six dicritiques; la droile 1^2' 3' est une intégrale.

La discussion de ces cas parliculiers K =^ i , i , — 9 (9- 4- 4-1 == o) ne présente plus aucune difficulté théorique et, par suite, aucun intérêt. Prenons, par exemple, K=: — i et les six poinls disposés suivant le schéma {fig> 17).

Fig. 17,

2/ \ Vi'

On disposera des paramètres de réforme de façon à avoir, pour le point 0,

Alors (86)

«2 = «3 = ?i = P2 = yi = 72 — «/ = (3;- = y'i — I .

La réglementaire V ^=: Hix\a -^^ u^x\b -^ u^^xlc présente, pour «, by c, les expressions

a = — A[x^, -{- 2{x, — x^) (x^— x,)]-^ xl{C —B) -\- xl{B' — C), bz=z

Le système des neuf équations H (88) se simplifie et devient

On en tirerait tous les dix-huit coefficients en fonction linéaire et homogène de six indéterminées, et de 0522, b^, Cjj, liées par

et le raisonnement s'achèverait comme dans le cas général.