Il faut encore pour la dicriticité du point wg

%Â/ ^ .1 «3/2 ^^^ ""^ ^Zf

que Ton ait (uoeV n** 59) pour ce point

dA

•~ =:ô, A^^z x^Ui — Xiïli^^ ^{' ' ') •+- '2p{d^^^-^di).

Ainsi pour ^i = orj =^ — ^3

Tenons compte de la première des formules (2) du numéro précédent, on a, pour ^j = ^r j :=: — .rj,

2 <ii ,^3 -h /i ^Tj — /g ^1 rz: O.

Ainsi, sous le bénéfice des explications du n° 52,

2d[tit^-h l\tl — /;^î = (^1+ ^2)(«im'H- <2/^'),

lo6 sut LA TflËOBlE DES ÉQUATIONS DlPFftRBNTIBLLBS.

my n^=. formes linéaires en x,, ar„

et, revenant aux x^ el j:„

et, po étant une constante,

/i=: /l H- poJ7i, /t = — m-t-poOr,,

Le système (2) du n* 80 devient alors

2û?, = /WH- /i,

2ûf, = 2(/n.r|-4- /iJ^j), (i) 'j 2^3'=: A-o/^C^?!— a:,)H-2^ia:,(m-+-/i) + 2po^i^(^i — ar,),

2C, = A-o />(/?, 4- p,) — (/^l^l — /'î'^î) ['W -h /i -h po(^i — ^î)L 2C4 = 2Âro/?* — (/'l'^?! — pt^t) (/w^i-H /l^i).

Les expressions des 11/ sont doublées

D =i/?î[r H- 2j:'i(^3^- J7,)] -h n[r -h 2j?,(j73-h or,)] n3=r2r(c,^3-f-c,)

83. 0)6 étant dicritique par hypothèse, la droite a?8-f-ari=o qui passe par '03 y a deux points attachés. Si donc, dans

IIi -h 113= 11(0:3 -fJ7i)>

nous remplaçons x^ par — j:^i, le résultat doit être divisible par (j?i — x^) .

Tout calcul fait, on a les deux conditions, équivalentes à une seule^

2(Ci— Cia.,)-H2po/>4-«/7i— /n;?2 ) ,...,,

[ divisibles par x^ — x^.

Si Kt et K, sont les quotients, il vient

8k. Pour assurer la dicriticité des quatre points w,, wj, wj, au donnés par

j'exprimerai que toute conique du faisceau

r — },p = 0, X = constante arbitraire

a en chacun des quatre poinfs deux points attachés confondus (10).

On a

U{r — lp) — Ur\

puisque

Pz^oy /?,n,-h/7,n,=o,

ÏLr = 2 A-o/^'^s ^- ^0 P^i^'^i'-^^i) H- 2r'Ci Remplaçons r par Xp, le résultat est, après départ de /?,

Ainsi, parmi les six points £2 =z: r — X/> = o, quatre sont les dicritiques wi, . . . , w*, c'est-à-dire les quatre points /? = r nr o. Si donc je remplace, dans i2, x^y x^y x^ par ^J, t\y t^t^y le résultat

/?'i...|'+xiûf;(/?;fî-/?;^j)4-2c;^2c;^Î^Î4-2c;^j^|

doit être divisible par p' quelle que soit X, c'est-à-dire, en définitive, en désignant par = o la divisibilité par /?,

c,= o, d'où c^=g^py

dï{P\^\ — Pj ^î) H- 2 Cg + 2 Cl X^ X2 ^ o.

Tenons compte des formules (i) du n® 82, il viendra

■—2.2CiX^Xi-\-{piXi—piXi)[ ]^0, [ ] =r m -h /i-h 2po(j7i— d?2)>

et, comme p est premier avec x^ et x^y

J a, p z=r constantes.

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