Quand on veut décomposer l'expression

■" dx"' ^ ' dx"'

en m facteurs premiers symboliques, ce qui, comme l'a vu, revient au fond à intégrer l'équation P = o, on peut soit calculer un système de valeurs des fonctions c,, Cï, . .., ç,„, soit évaluer directement un système de valeurs de leurs coefficients a,, a-,, . . ., «,„.

Dans le premier cas, on cherchera, comme on sait, une solution particulière v^ de P(s,) — o, puis une solution particulière v% de V[v^^z^dx) = o, etc. Ces équations en z,, s^, z,,, . .., s,„, d'ordres respectifs m, 771 — r, m — a, . . ., 2, i, sont linéaires.

Dans le second cas, pour calculer directement un système a,, (ïj, . . , , a,„ , il résulte du numéro précédent que l'on cherchera une solution particulière a^ de

yGoosle

84 V.. ri.OQir.T.

puis une soliUioii particulière Cn de

puis, etc. Ces équations en w,, u^, h,,, . . -, n,,, sont d'ordres respectifs m — i, m — 2, . .. , 2, I, o, mais ne sont pas linéaires. En général, «,■ sera une intégrale quelconque de l'équation en «,, d'ordre m — i, mais non linéaire,

Remarquons que celte seconde métliode donne une signification remarquable de la nouvelle variiiLie u, dans le changement do variable

usité pour al)aisser l'ordre des équations différentielles linéaires cl homogènes : u est le coefficient du dernier facteur premier symbolique dans une décomposition du premier membre de l'équation.

Remarquons aussi que le système des équations en u,, u«, . ,, ii„„ comme le système des équations en z,, z.,, .. ., z„„ possède celte propriété, qu'il suffit de connaître une solution particulière de cliacune de ses équations pour pouvoir les intégrer toutes complètement, puisque, ces solutions étant connues, on peut intégrer complètement P = o.

Ainsi donc, si l'on veut tenter l'intégration de l'cquatlon P = o par une décomposition directe de P en facteurs premiers symboliques, on est conduit h chercher m intégrales des m équations en «,, Wo, . . , , u,,-,, d'ordres m— i, m— 2, . . . , 2, i, o. Ces équations ne sont plus linéaires; malgré cela, elles peuvent aider à découvrir certains cas particuliers oii l'équation P --= o est intégrable.

Je vais appliquer à l'équation du second ordre

Je veux mettre P sous la forme composée

yGoosle

Illliorilt DKS rOl'AIIOXS nii'r^-.lIF.NÏIKT.T.r.S T.TNKAIUFS, 83

d'où les deux équations

n, -I- n, =. - ;,„ lia.

qui délerminent fl, et a^. La première donne

et tout revient à ralculer a,, qui est donné par l'équation du second ordre non linéaii'e

L'équation (2) n'est autre eliose que

VeS-.''- -.-.,0, et l'équiition f ri

De plus, on sait que les équations de la forme (2) sont intégrables compîétemenl quand on en connaît une solution particulière, ce qui est d'accord avec ce qui précède.

L'équation (2)86 ramène à lu forme

(3) 'T^r'^l'"''^'/^-""" par la sulistitution

(4) «'-«-?■ OU encore

La substitution (4) revient ii prendre pour inconnue la denii-difTérence

Il faudrait donc intégrer l'équation (3) pour avoir a, et a^, et par Buite un système fondamental d'intégrales de l'équation du second ordre.

S6 il. r.i,OQi;r,T.

Adoptons, piir exemple, la substitution (5). L'équation (3) est alors

et, si nous supposons

elle est inlégrable. On en déduit sans peine a, el a^, savoir ; «,= - yjp'.uagif^pldx), a, — —^^^-- + \lp,\.aug[f \lp,dx),

et, par suite, nn système fondamental d'intégrales de l'équation

d^y diogs/p, dy

éx' (tx dx ' "'■' ~

Si nous adoptons maintenant la stibslitLition (4). auquel tas l'équation (3) est

il est facile d'obtenir la relation qui doit exister entre />, et pa pour que a, et «ï soient égaux. La condition est évidemment que l'équation (6) soit vérifiée pour a = a, puisque a représente ~ — '■ Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante pour que l'expression (/'r dr

soit tlécomposable en deux facteurs premiers symboliques égaux est I dp, p]

Les deux fadeurs sont d'ailleurs égaux à

ili^Plr

et l'équation du second ordre admet les deux solutions