SIXIEME PARTIE

69. Le procédé indiqué au n" 59 pour trouver l'équalion au multiplicateur intégrant appartient à M. Thomé. Cependant, j'ai légèrement modifié le raisonnement en introduisant une décomposition de l'expression P en m facteurs A de la forme

TIIËORIE DliS KIÎUAÏIO>'S l)!t-ni[10TII'a.LES I.IMiAlKKS. 79

J'ai aussi introduit ce mode de décomposition au a° 64, lorsqu'il s'est agi de trouver la relation qui existe entre les Intégraîes de deux équations adjointes. Il semble que l'emploi des décompositious de ce genre doive présenter certains avantages. Aussi me suis-je proposé d'y revenir dans les deux dernières Parties de ce Mémoire. J'en fais d'abord ia théorie, après quoi j'en déduis une nouvelle méthode propre à l'étude de l'expression et des intégrales dans le domaine d'un point singulier. Considérons l'expression différentielle composée

les expressions composantes A étant linéaires, hojiogènes, du premier ordre, et ayant pour premier coefficient l'unité. Os expressions composantes, de la forme

scToni np\)Glécs facteurs premiers symboliques. Deux facteurs premiers symboliques ne peuvent différer que par leur coefilcient a. Je représenterai le coefficient de A^ par a,-.

70. Soit l'expression différentielle linéaire, homogène, d'ordre m

oii te premier coefficient sera toujours l'unité et où les coefficients/» sont des fonctions de ^, liolomorphes dans une partie du plan h contour simple, sauf pour certains points singuliers isolés les uns des autres.

Je vais étudier la décomposition de cette expression en facteurs premiers symboliques.

i" L'expression P est décomposable en m facteurs premiers symboliques.

Considérons, en effet, un système fondamental d'intégrales de l'équation P -- o; on peut (n" 5) le supposer de la forme

yGoosle

no (;. n.oc>i;iiT.

Je construis îes équations différentielles

(elles que

et admettant respectivement comme solutions

La valeur de «j, par exemple, sera

L'expression différentielle A,nA,„.| . . . A^ A^A,, composée de m facteurs premiers symboliques, est identique à P, c'est-à-dire que les coefficients des dérivées de même ordre, dans les deux expressions, seront égaux. C'est ce que j'ai établi au n° 59.

2" Toute décomposition de P en facteurs premiers symboliques s'obtient par la méthode précédente. Autrement dit, si l'on a

et si l'intégrale de A, = o est f ,, si celle de A2= o est mise sous la forme v, v^, ce qui est toujours possible, celle de A3 ^ o sous la forme l'i Ca^a. etc., les m fonctions

j, = i',, j-i= v,Jv-,dx, . . , y,„= v,f^-,dxj. . -fv^dx

constituent un système fondamental d'intégrales de P = o.

En effet, l'expression P est annulée par les intégrales générales des

équations

A,= o, A,= t',i'„ A.Ai^yiCc,, ..,;

or, l'intégration directe de ces équations montre qu'elles admettent pour solutions les quantités désignées par y,, 75, . . ., /„,; donc ces fonctions /; sont bien des intégrales de P = o. Elles sont d'ailleurs linéairement indépendantes.

Ainsi, l'expression P est toujours décomposable en facteurs premiers symboliques, el de plusieurs manières; mais toutes ces décompositions

TiitiUiiiii; i)i;s liyuA'cioss difi'kiœstiklles usilAiiiks, ci

s'obtiennent par la même voie, et chacune d'elles est corrélative d'un système fondamental déterminé.

71. De même qu'en Algèbre la décomposition d'un polynôme en facteui-s premiers permet, connaissant les racines d'une équation, d'écrire immédiatement cette équation, de même ici la décomposition en facteurs premiers symboliques permet d'écrire de suite l'équation différentielle qui admet un système fondamental d'intégrales donné. Si

j, = c,, y,-^i'J'v,dx, .,., ^■,„--=<',/<^,</x.../t',„(/.f

est le système eu question, l'équation différentielle sera

■ec les conditions

Les eoeflicienls de cette équation se trouveront exprimés en Fonction de r,, V-., ■ . -, i'w

Je mentionnerai un autre procédé, conduisant à la solution de ce même problème : former, en fonction de c,, Tj, . . ., v,,,, l'équation différentielle qui admet le système fondamental ji.j^, .. ., r,„.

Je vais, en effet, construire successivement les équations différentielles linéaires, homogènes, d'ordres r, 2, 3 admettant comme

solutions, la première r,„, la deuxième (',„.„, et (',„,/('„,(&, la troisième ''m-a. «'«-î/fm-i dx et v,n.2fv,„.^i dcc j \',„dx , ctc. Reportons-nous pour cela aux formules (1) du n" 18, qui donneront les p, connaissant les <j.

L'équation du premier ordre, qui admet l'intégrale f,„, est

avec la condition

Pour obtenir l'équation du sei;ond ordn

'ti. . 'Il ■

' dx' ^ ' dx ' '■' ~

82 i\. i-i.«urF,T.

qui admet les intégrales

c„,, el i',„.-,J'i',„dx,

je détermine d'abord s.2 par la condition que v„i, vériiie cette équation; puis, considérant l'équation (i) comme déduite de {■î) par la substitution

je détermine s^, en fonction de /■,, par les formules (i) du ri" 18. L'équation dn troisième ordre

qui ndmet les irilcgrales

r,„-j, v,„..,fv,„--i dx et v,„..ijv,„-idxjv,a dx,

se construit de même, en déterminant d'abord t^ par la condition que c,„2 vériiie cette équation, puis i, et t,^ en fonction de ^i et s^, à l'aide des formules (i) du n" 18-

En continuant de la même manière, on obtiendra l'équation cherchée, d'ordre m, admettant les intégrales

''il '^if ^1 dx, . . . , VtJ'v-i dx f . . .j'vmdx.

D'après la proposition du n^S, si les fonctions y,,y.i, ■■ . jm sont holomorphes dans une partie T du pian, à contour simple, excepté pour certains points isolés les uns des autres, et si les nouvelles valeurs [y,)' , (jï)', ■ - -î (/m)' qu'acquièrent ces fonctions lorsque la variable fait le tour d'un de ces points peuvent s'exprimer en fonction linéaire, homogène, à coefficients constants, des valeurs primitives, l'équation différentielle obtenue, à laquelle satisfont y,, y^, . ■ ■»/,«' ^t^''^ ses coefficients monotropes dans la région T.

72. Lorsqu'on connaîtra un système de valeurs des fonctions v, , c^, ..., r,„, on saura effectuer toutes les décompositions possibles do l'expression P en facteurs premiers symboliques, car, si l'on connaît un système c,. Cj> . . , , v,.,, on peut intégrer complètement P — o; par suite, on connaîtra tous les systèmes c,. Cj, ..., c,,,; on sera donc à

TtHÏOHIF. DKS EOrATTONS IMlTKRlîNnEl.MÎK IJMICAIHKS, b.T

même de calculer tous les systèmes de valeurs des coefficients o,, û; a,„ donnés par ies formules

Inversement, lorsqu'on connaîtra un système de valeurs des coefficients rt|, (ïj. ...,a,,,. on saura effectuer l'intégration complète de

l'équation P = o. En effet, si l'on connaît a,, a.. «,„, on peut

calculer r,, c., . . ., (',„ par les formules (i), qui donnent

On aura donc un système fondamental d'intégrales de l'équation P = o:

Notons cette conséquence : lorsqu'on connaît une décomposition de l'expression P en facteurs premiers symboliques, on peut les former toutes.