dx' T. 2 dx
H- [iii — 2);((, + flj+..
' dx ' '' ' ' dx
Oii a donc ainsi les cocfficicnls p exprimés si l'aide des coefficients a :
Ces coefficients fl sont eux-mêmes des fondions de Ci.Ca. ■■■,<',„. définies par les formules (i) du n" 72.
Mais, si l'on substitue au système v,, v.., ..., r,„ un autre système pareil, les fonctions/' de ^ ne changeront pas, puisqu'elles sont toujours égales aux quantités/),-. Les fonctions/,, /i, ...,f,„ des coefficients a des facteurs sont donc des invariants, en ce sens qu'elles restent égales à elles-mêmes, quel que soit œ, quand on change le système
Par exemple
, la fynctioii
- ia, + a. +
^st-à-dire
rflog^,
dx
rflnRM'.r,
<lx
dx
dx
est égale à p^, quei que soit le système i',, \>... ..., <',„. Et, en effet, on
ïiïfioiiir: nrs [■or.vïio.Ns niri'ÉR£NT!F,i.T.ES lkniUiiies. 89
a vu au n" 5 que
car A est égal à cr^''''''', d'après la proposilion de M. Liouvilte, de sorte que
Remarquons aussi que, si «,, a., a,,, sont consUnls, les formules (2) donnent pour les/» des valeurs constantes
(jui sont celles des coefficients de l'équation algébrique
ayant pour racines «,, a.., .... a,,,.
75. Considérant toujours l'équation différentielle P —- o, je me propose de multiplier toutes ses intégrales par — î v et if étant des fonctions de a:.
Il est clair que j'atteindrai le but en faisant la substitution r —- — z.
L'équation P ( — ^j = o aura pour intégrales celles de P(j) ~ o multipliées par -■ D'autre part, soit
j,^.„ y.,^.,,f,.jla^, ..., r,„=.,/.v/,r/.../..„</.r un système fondamental de P(r) ~ o, et soit
la décomposition corrélative de ?(/}. Pour multiplier toutes les intégrales par -■, il suffit évidemment de remplacer c, par — • Or on a
d'où il suit que clianger ^\ en — '- revient à ajouter h disque coeffi-
90 G. (■T,OQ["r.T.
cient «(■ la quantité
fl,?j " iv dx dx
et, par (^nnséijueiil, l'équation
" "<Ar V " "dx ~ 'd.T /■'• aura pour intégrales celles de V{y) =-- o multipliées par -i e'est-à-ilire les mêmes que P|-^) = o.
On est donc conduit à l'identité suivante :
avec les conditions
Supposons fin partieiilier
nous aurons
dlogv f/lofii!'^
et par suite
avec les conditions
et Ton voit que, pour multiplier toutes les solutions de l'équation
par l'une d'elles, satisfaisant à A,~ o, il suffit d'ajouter a, à tous les coefficients a.
ÏIItOlUE DKS iiiJUAnONS iJli"rÉlli;.\ïli;i.LES Ll.NEAllli;S. (jr
Supposons maintenant nous aurons l'identité
avec les conditions
les solutions de
par l'une d'elles, annulant A,, il suffit de relranciier a, à tous Its coefficients a.
76. En 1874. M. Vincent a publié un travail (') sur les analogies entre les équations différentielles linéaires et les équations algébriques. < J'ai été conduit, dit M. Vincent, à faire porter le raisonnement, non pas sur les solutions particulières, mais sur leurs dérivées logarithmiques -y-. » C'est qu'en effet, comme je l'ai montré au n° 73, ces dérivées ont une signification remarquable, mise en évidence par la décomposition en facteurs premiers symboliques, et qui fait pressentir tout l'avantage qu'on peut retirer de leur emploi direct. Les dérivées logarithmiques des solutions de l'équation P — o ne sont autres que les valeurs du coefficient du dernier facteur symbolique dans les différentes décompositions du premier membre P. Dès lors, toutes les analogies signalées par M. Vincent deviennent encore plus sensibles.
Etant donnée une équation algébrique V{y) --- o, dont le premier membre est décomposé en facteurs premiers,
lorsqu'on veut la débarrasser d'une racine a,, on supprime le facteur
[ Preaiiéro Thèse, préseiilûe à la l-'aciiltù (ie Hennés, i
y — y.,.Qii iiicmf.s éLaiit (luiHiée l'équation différentielle P(i) - a, dont le premier membre est décomposé en facteurs premiers symboliques,
pour la débarrasser d'une intégrale parliculière j, — c, , qui est en même temps solution de A, := o, il suffira de barrer le dernier facteur A , . Si
ri = ''-> r^^",/!-.*/*', ..., y,„--i;fv-,dxj'. . .J'^,„dx
est le système fondamental corrélatif de la décomposition considérée, l'équation différentielle linéaire, homogène, d'ordre m — i.
admettra le système fondamental
''i ''-1 ''i i'iJ'Viflx, . , , fi i-'.'J'i'j dx J' . , ■ f v,„ dx,
c'est-à-dire
- ' dx y,' • ' dx y,' dx y,
Connaissant la racine a, de l'équation algébrique F — o, on peut encore abaisser le degré de cette équation en égalant le facleury - a, à (, c'est-à-dire en diminuant les. racines de a, ; l'équation en t admet alors la racine ( ~ o, dont on la débarrasse. De même, connaissant l'intégrale particulière/, de l'équation diiférentielle P = o, on abaissera
l'ordre de cette équation en égalant h -i- \e dernier facteur A,, qui est
annulé par j,; l'équation en ï admettant alors la solution -^- = o, on
prendra pour inconnue -^ , — :, ce qui, en somme, revient a poser
dx y, dx ■*
Nous obtiendrons évidemment ainsi l'équation
A,„.\„,.,...A, A, = o et, pai' conséquent, la même équation que précédemment. Au sui'pliis,
rr=^2-
yGoosle
THÉORIE DES iim'ATIOSS DIKrÉHEM'lELLES LlNÉAIIiES. gS
la relalioii
dr.
qu on peut centre
dx y\
moiHre que l'équation obtenue par ce second procédé doit admettre les intégrales
■ ' (/.t j; ' ■' ' dx y;^ ' '' ' dx y;
Ainsi donc, étant donnée l'expression différentielle P, qui est annulée parjKi, s'il'on pose
y, salistaisaiit à l'équation
on obtiendra l'expression différentielle linéaire, homogène, d'ordre m ~ \ ,
A,„ A,„i . . . A3 Aj A, étant une décomposition de P en (acteurs premiers symboliques.
De même, si l'on connaît une solution particulière de l'équation transformée
annulant A., on abaissera l'ordre de cette équation en prenant pour inconnue A^, ce qui revient à barrer Aj, et ainsi de suite.
Inversement, lorsqu'on voudra introduire une nouvelle solution /„ dans l'équation V{y) — o, on fera la substitution
Op désignant la dérivée lo^arilbmique de celte solution, et si l'on a P=:A,.A„,,.. A, A,A,,
yGoosle
94 11. l'i.oyirEï.
l'équalion iiDUvelie sera
Elle admoLlra pour intéiçrales
ce qu'on peut écrire
