Si je considère l'équation différentielle

et si, appliquant la méthode précédente, j'introduis une solution de A| -~ o, j'obtiendrai l'équation

Les formuies(i) du ti" 74^ font coonaître les valeurs des nouveaux coefficients/) en fonction de a, et des coefficients q. Réciproquement, si je débarrasse l'équation

de la solution de A, i- o, en supprimant le fadeur A,, j'obtiendrai l'équation

dont les coefficients q seront donnés par les mêmes formules (i)duii''74-, résolues par rapport '■» cj,,q.^, . ., q,,, :

Wlx

yGoosle

TTHÏOBIE DES ÉOVATION'S DIFFÉREXTIELIES USIîAlBF.S. 96

On voit donc que les termes indépendants des dérivées de «, se déduisent les uns des autrescomme les coefficients du quotient d'un polynôme par j — Oi, de sorte que, si a, est constant, les coeflicients q sont ceux du quotient du polynôme

78. Le mode de transformation de l'équation P^o, propre h abaisser son ordre d'une unité quand on en connaît une solution partieulifere )',, et qui consiste à poser

diffère du procédé ordinairement usité, où l'on pose

y .-.-rtf Z <lx.

11 existe une relation simple entre les deux procédés. L'égalité y—y,fzdx donne, en effet,

Doncles intégrales de l'équation A,„A„...| ... A, Aj — o, obtenue par l'une des deux mélhodes, sont égaies à celles de l'équation Vlyifzdw) —a, obtenue par l'autre, multipliées par/,.

Je vais conclure de là deux identités, en ramenant les dtuix équations a avoir les mêmes intégrales.

Si je multiplie par j, les solutions de P{y,fzdx:) = o, ce qui se fait

en changeant s en 4' comme le premier coefficient de P( v, j — ^^^] est l'unité, j'aurai l'identité

'i'-'IH'

yGoosle

Si je divise mainlenant par/, les solutions de A,„A„,.. , ... A^A..=--o, ce qui se fait (ii*^ 75) en relranchiint a, à tous les coefficients «,„,

a,„. a^. a.,, comme le premier coefficient de V{y,Jzdiic) est y,,

j'aurai la secoiute identité

(2 ) -- p {r.j'ydx \ = a;„ a;,,., , . . a;, a; ,

Remarquons que, si clans l'équation

on remplace,}', par sa valeur v, = (■J""i"'-'', et si l'on pose j— e'".''', elle deviendra

et coïncidera, par conséquent, avec l'équalion en Uj du n" 73, et les

équations en w,, u^, ..., u,„ dudil numéro, qui détermiuenl a,, (u

ff,„, se déduisent des équations linéaires et homogènes

A,„A„-,...A,A, — o, A,„A,„,. ..A,^:ro, ,.., A,„A„.,^o, A. = o,

en posant successivement, dans la première, y— e-'"i''^; dans la deuxième, y — e^" ,'''"; dans la troisième, y = c^"-''-'', etc.

79. Étant donnée une équation algébrique admettant la racine/,, pour que l'équation obtenue en supprimant le facteur/ ~ y, admette encore la racine y,, il faut et il suffit que 7, satisfasse à l'équalion dérivée.

De même, étant donnée l'équation différentielle

qui admet la solution j, annulant A,, pour que l'équation obtenue en barrant le dernier facteur A, dans

■niKOH»; I»liS ÉQUATIOSS DII-TÉHESÏIELLES LISLAIKKS. 97

admette encore la solulion /,, il faut et il suffit que v, aylistasse à i'équalion

En effet, l'identité (i) du numéro précédeiil nioulre que la i^oiulition pour que I'équalion

soit vérifiée pour y=j'i est que l'on ail

u'esl-à-dire que P = o admette l'intégrale ay,. Or, si nous exprimons celte condition, en tenant compte de P(yi) = o, nous trouvons

80. La condition précédente, écrite sous la forme P(*j'i) — o, fait voir que, pareiliemenl, pour que l'équation obtenue en débarrassant

de la solution j, admette eiicoi'e cette intégrale, il faut et il suffit (jue l'on ait

"(''•ff"")^" °" '■'

et, généralement, la condition nécessaire et suffisante pour que y, soit solution de l'équation P = o et des n — i équations qui se déduisent successivement l'une de l'autre en posant

est que P — o admette les n intégrales

r,, xr„ :i\)\, .... X" 'y,.

Ces solutions, en pi'ogression géométrique de raison a-, ont été appe-

1)8 i;. i-LOQun-.

Ices [jar M. lîi'assiiie solutions conjuguées. L'analogue d'une équation algébrique ayant n racines égales est donc une équation difTérenlielle linéaire ayant n solutions conjuguées.

Lorsque l'équation différentielle P= o admet n solutions conjuguées, on peut décomposer le premier membre P en m facteurs premiers symboliques dont les n derniers seront égaucc.

Soit, en effet,

un système fondamental de P — o, et soit

la décomposition covrélative de P. Elle jouira de la propriété énoncée, car, si l'on calcule Cj, c^, .. . , v,^ par les formules

y, — ^„ y,--^^Jv,dx, ..., y,. = P,fv,dxJ'.-.Jv„dx,

OU trouve successivement

de sorte que l'on a

^ r;iog(^, <>,,, . i>,-1 (/ lofi[i.-^ . 3...;/- i)i-,] ^ d\Oi;i' , ''~ dx dx ~ dx

OU

La démonstration pourrait d'ailleurs se conclure de ce fait que l'expression A,„A„.; .. .A; An, devant encore s'annuler pourj = j'|, peut se mettre sous la forme

Réciproquement, si l'expression P est décomposable en m/acteurs premiers symboliques dont les n derniers sont égaux, l'équation P -^n; o admettra n solutions conjuguées.

Si, en effet, on forme le système fondamental corrélatif de la décomposition A,„A,„ ., . . . Ao Aj, savoir : . ■

TIIKORIE DES l50lTAT10N5( DIFFMR\"TTF.I,rj\S l.lSK.UIiSS. 99

on voit imniédiatemeDt que {>... f,v .... i'„, étant donnés par les formules (n" 72)

où l'on a

a, —- (ï, =r «1 -- , , . Tirr a,„

sont des constantes, d'où il résulte que y,, y^, . ■ ., y„ sont de la forme

Nous avons vu une vérification de cette réciproque au n" 73, pour l'équation du second ordre.

On peut aisément se rendre compte de ce qui a lieu pour une équation

OÙ n facteurs consécutifs sont é^aux, mais non plus les derniers. Supposons, par exemple,

L'équation

admet alors les n soUilions conjuguées

Donc (n" 76) ta proposée admettra les /; intégrales

qui sont telles qu'on a

fl T' '"^ .Vs (^ .1'"+' „ I

Ce sont ces dévivéos qui sont conjuguées et non plus les solutions elles-mêmes.

81. Je me propose à présent de décomposer l'expression différcntielle

,,, 1 à")- il"'- 'r

en fadeurs premiers symboliques, dans les deux cas particuliers où l'équation P = o est intégrabio, savoir

R,, /'et s étant des constantes.

Considérons d'abord l'expression

■- ' {/x"" ' rx -y s ilx'" ' ( vx- + s)- dx" "' - ■ ■ ■ "^ j, ,- j^ a "■ '

que je veax mettre sous la forjne

P = A„,A,,. ,...AsA,.

Oh sait que, si p,. p. (/,„ sont les racines de l'équatiou algébrique

r'"p[p — i''...:p~ m -!-i~ -I- II,/'"' ',i.;û- .)■■■'? — m + -.,)+...

H- li„. : !■■' p ; p - I -h li,„ . ro -f- H,„ = o,

obtenue en posant j — fr-a; -i- ,v;' dans P(y} mj o, l'équation P == o admet les intégrales

qui, en général, sont linéairement indépendantes. Connaissant ces intégrales, j'en déduis facilement c,, c^ c„, par les formules

et je trouve

à des facteurs constants près. On a donc, à un facteur constant près,

el, par suite, en prenant les dérivées logarithmiques,

"'~ix-hs^ ''~ i-x--:-s' '~ rx-^s' "■' '^'"~ rx + s

Ainsi, l'expression P est décomposablc en facteurs premiers svmlio-

TIEEORIE niiS rQTATIOXS IMFFFREXTIET.T.r.S I.INKAIRES. lOI

liques de la forme

où A,- est une constante égale à ( p,- — i + i)r.

Réciproquement, toute expression composée de fneîeiir.'* premiers svmbolifjiies tels que

/■/ él!\tu constant, sei';i clo In forme P, où II,

C'est en effet ce qui résulte immédiatement des formules (2) du n" 74. Lorsqu'on a ^c, = (-.„=... =: 0,,, on voit sans peioe que la décomposition donne les intégrales

[rx-T- «;■!, [rx + ïjfi li.ig(yx H- î\ . , ., [iw 4- i'si los""""' {l'x -\- s],

et, lorsqu'on a p, ^= p-x — [ 7.= p ^ ~ 9, —- . . . ~ p,, •— n + r, elle donne les solutions

équivalentes évidemment aux solutions conjuguées

ce qui devait être d'après le numéro précédent; de sorte que, quand l'équation algébrique en ^ a n racines en progression aritlimétique de raison r, l'équation différentielle a n solutions en progression géométrique de raison x.