Je vais établir maintenant que l'expression
„, , d"'r d"'-'y '■' ■ dx-" '^ (ïr~-' ' -^
OÙ les coefficients/) sont des doubles séries procédant suivant les puissances entières positives et négatives de œ, et convergentes dans le domaine du point zéro, est toujours décomposable en facteurs premiers symboliques de la même forme, ayant par conséquent leur coefticient monotrope.
On sait (n° 9) que, si « désigne une racine de l'équation fondamentale et si l'on pose
■ -== logW =:: r,
une équation telle que P = o admet toujours au moins une intégrale de la forme
o{ic) étant une double série comme les coefficients jo. Cela posé, soit
la décomposition de P corrélative du système fondamental
y, =1.,, r, = '.\Sv.dx, .... y„,r=v,fv,dxf...fv,„dx,
et supposons que les solutions f|, «'21 ■■ if^des équations différentielles, successivement déduites l'une de l'autre par la substitution connue, aient été choisies de la forme x''(p(x) :
THEORIE DES ÉQUATIONS DlFIÉGE.NTlELLES LISLAlilES. 121
Cela est toujours possible, car ces équations successives remplisseni les mêmes conditions que P — o {n" 18). On aura
d'où il résulte que le eoefficiciit rt, de A,- sera une fonction conilnue et monogène dans le domaine du point zéro, à ce point près, et de plus monotrope, car, après une révolution de la variable autour de l'origine, la quantité sous le signe log est multipliée par
de sorte que sa dérivée logarithmique ne change pas. Donc les facteurs de la décomposition considérée ont bien dos coefficients possédant les mêmes propriétés que les coefficients/).
Ainsi, il est toujours possible de décomposer l'équation P en facteurs premiers symboliques à coefficient monotrope de la forme
ly
i étant entier.
96. Revenant à nos hypothèses, nous supposerons dorénavant que les coefficients de l'équation différentielle présentent le caractère des fondions rationnelles, et nous considérerons l'équation
où les coefficients p seront des séries procédant suivant les puissances entières de^c, mais ne renfermant qu'un nombre limité de puissances négatives.
La décomposition de l'expression P en facteurs symboliques de la forme
conduit à deux propositions importantes.
Proposition I. — Le degré-/ de la Jonction déterminante de l'cquation P := o es^ égal au. nombre total j des facteurs l'éguUers qui entrent dans une même décomposition de l' expression P en facteurs symboliques de la forme
Considérons, en effet, une paceilie décomposition
contenant/ facteurs réguliers. Dans les coefficients des facteurs non réguliers, et seulement dans ceux qui renferment un nombre infini de puissances négatives de œ, supprimons pour un instant les puissances de«~', dont l'exposant est supérieur, en valeur absolue, à nn nombre arbitraire n, et soit
P' = lî,„Ii„ .,..,RJ!,
l'expression composée avec les facteurs dont quelques-uns sont ainsi modifiés. L'expression P' est de même nature que l'expression P, et les facteurs réguliers qui entrent dans P' coïncident avec les j facteurs réguliers qui figurent dans P. D'après le n" 94, la fonction déterminante de P' est d'un degré -f égal à la somme des degrés des fonctions déterminantes des expressions B; or, les B non réguliers ont une fonction déterminante constante, et les B réguliers l'ont du premier degré; donc la somme en question se réduit au nombrey des facteurs réi^uliers, et l'on a
'/'--■]■ Faisons maintenant croître n indéflnimenl : l'égalité précédente, ayant lieu quelque grand que soit n, aura lieu encore à la limite, et, par conséquent, comme y' a pour limite;, on aura
Corollaire. — Le nombre des facteurs réguliers qui entrent dans une même décomposition de l'expression P en facteurs symboliques de la forme
est constant, quelle que soit celle (iéc(im[)osilion.
Tiiiior.ir: mva kqi'.vïioss inn-TiiF,NTiF.i,i,KS i.isiUmr.s. i23
Propositioh II. — Le nombre s des intégrales régulières linéairement indépendantes de l'équation P = o esi égal au plus grand nombre fï de facteurs réguliers consécutifs susceptibles de terminer une même décomposition de l'expression P en facteurs symboliques de la, forme
L'équalion V =^ o, ayant * intégrales régulières, admet (n" 17) une solution f, -— x''"^, {œ), où il'i(^) est holomorphe dans le domaiiie du point zéro et non nul pour ic = o. Je pose y ~ f\f:- dos, et j'obtiens l'équation Q[z) = o, qui a (n" 18) s — i intégrales régulières linéairement indépendantes.
Q ^^ o, ayant s — i intégrales régulières, admet une solution c„ -- ic-?'|.(a;). Je pose s — ('s/ïÉ^ar, et, j'obtiens réquationR(() — o, qui 3 5 — 2 intégrales régulières linéairement indépendantes.
En conllnuaut de la sorte, j'arrive à l'équation H(h)=: o, qui a une intégrale régulière, et admet par conséquent une solution Cj - af^'^^fic). Puis, posant u ~ v^fvdx, j'obtiens une équation dont je prends une solution quelconque fj.!.,, mais de la forme x''(f[x), sans logarithmes, et faisant de mémo pour les équations suivantes, déduites successivement l'une de l'autre par les substitutions analogues, j'en tire Tj+i, ('i^a, . . ., !■„,.
Ayant ainsi calculée,, v-,, l'j, ..., c,,,, je forme la décomposition de P en fadeurs premiers corrélative du système fondamental
rr----<'u r;^i\f<':dT, ..., j;.^-i',fv.:dA-f...f,:„th:
Soit P = A,.„ A„, ,,,.As..,A.; A, cette décomposition. Ses facteurs A sont tels que
De plus, les équations
admettent respectivement les intégrales
12/i 0. rlOQUET.
or, ces intégrales sont régulières; donc les s derniers factenrs A,, As, . . ., As sont réguliers, et, par conséquent, on a t: Js.
Je dis maintenant qu'on ne peut avoir c > *.
Supposons en effet qu'il existe une décomposition do P en facteurs premiers symboliques de la forme
(Ir
où les s 4- A derniers seraient réguliers :
P-lt,„B,„-,...IÎMi.. ■If-Ri- Représentons par
des solutions appartenant respectivement aux équations
I), = o, is^rr^o, Fî,^o, ..., n,,,---o,
Ces solutions sont régulières et de la forme x'^'^[x), d/lx) remplissant les conditions déjà indiquées. Il en résulte que les rapports tels que
c'est-à-dire les intégrales
des équations déduites successivement l'une de l'autre par la substitution connue, sont des intégrales régulières de la même forme x^<^ (a;).
Donc, d'après le théorème réciproque du n" 18, l'équation qui donne w^^-u ayant au moins une intégrale régulière, celle qui donne tVj+i, en aura au moins deux; celle qui donne Wj+a-s en aura alors au moins Irois, etc., de sorte que celle qui donne tv,, c'est-à-dire P = o, en aurait au moins s + &, ce qui est contre l'hypothèse.
On conclut de là que <7 est exactement égal à s.
Memarque. — On peut remarquer que cette dernière proposilion est encore vraie, lors même que les facteurs premiers symboliques ne sont pas de la forme
ÏIir.ORlF, DF.S EOUATIOXS IMI'FKRF.NTIELLES LlîiE-URES. 1 lîJ
97. Les deux proposilioiis qui ppécédent permellent rréiioncer hiimédiatement les théorèmes suivants :
TniioRiÈME I. — SU' équation différentielleV = o a toutes ses intégrales régulières, l'expression V est dêcomposable en m facteurs réguliers.
ThiSorème II. — Si V expression différentielle P est dêcomposable en m facteurs réguliers, l' équation P = o a toutes ses intégrales régulières.
Théorème III. — Si l'équation différentielle V ^^ o a toutes ses intégrales régulières, le degré de son équation déterminante est égal à son ordre.
Théorème IV. — Si le degré de l'équation déterminante de l'expression différentielle P est égal à l'ordre m, l'équation P — o rt toutes ses intégrales régulières.
Les théorèmes I et II résultent de la proposition II. Le théorème 111 se conclut du théorème I et de la proposition I. Enfin le théorème IV est une conséquence de la proposition I et du théorème II.
il est d'ailleurs facile d'étahlir ce théorème, savoir :
Théorèwj: V. — Si l'équation différentielle V ~ o a toutes ses intégrales régulières, elle admet un système fondamental d'intégrales appartenant à des exposants qui sont les racines de l'équation déterminante.
En effet, P = o ayant toutes ses intégrales régulières, P est dêcomposable en jn facteurs réguliers,
et l'on a entre les fonctions déterjninantes la relation
g{p] = /i,{p]./ij,p -,]./,,{?- 2]... h.„[r.-m + ,],
trouvée au n" 92. Il en résulte que, si l'on égale h zéro les facteurs réguliers A^Aa, • -., A;,,, les intégrales
des 7n équations obtenues appartiennent respectivement aux exposants
p,,pi, .... p,„ étant les racines de l'équation déterminante j^'p) = o;
iaG i;. ii.onvF.T.
d'oii l'oii conclura sans peine, en appliquant le prcmiiir des doux principes admis au n° 55, que le système fondamental
corrélatif de la décomposition eonsidéréc, est foniié d'intégrales appartenantattx exposants j'^,, (>-,, .. .,p,,,.
98. Les deux propositions du n° 96 sont tout aussi fécondes dans le cas où il s'agit d'éfjuations n'ayant pas toutes leurs intégrales régulières.
Elles donnent d'abord ce théorème :
Théorème I. — Le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes de l'équation différentielle f =^ o est au plus égal an degré de son équation déterminante.
La forme que doit aflecter l'expression différentielle P pour que l'équation P -- o ait s intégrales régulières linéairement indépendantes résulte de la proposition suivante :
ÏhkorèmeIL — Pour que l' équation différentielle V = o ail s intégrales régulières linéairement indépendantes, il faut cl il suffît que l'expression P soit susceptible de la/orme
P — QD,
où Q et T) sont d'ordres m — s et s, et sont de même nature que P, c'està-dire à coefficients présentant le caractère des fonctions rationnelles, le premier étant l'unité, etoù\)^^oa toutes ses intégrales régulières, Q~o n'en ayant aucune.
i" La condition est nécessaire.
En effet, P ^ o ayant s intégrales régulières linéairement indépendantes, il existe (n" 96, prop. II) une décomposition de P,
Pi=A„,A,,,...A,+,A,...A,A,,
en facteurs symboli(jues de la foriiii
ïllilOliit; DES liQCATIOSS DIFFEISESTIELLIiS LINEAIRES. 12
OÙ les S derniers sont réguliers. Si je pose alors
A,..,A,A, = il, A,„A„, A,^,^-^<J.
j'aurai
[• -- Ql>.
L'expression D est d'ordre s et composée de ^ facteurs réguliers; ell est donc (n" 90) de la forme
et, d'après le tliéorèine II du n" 97, l'équation D = o a toutes ses intégrales régulières.
L'expression Q est d'ordre m — s; si l'on eiïectuc l'opération QD, et qu'on identifie avec P, on obtient des égalités qui montrent que les coefficients de Q, comme ceux de P et de D, présentent le caractère des fonctions rationnelles; en outre, Q — o n'a aucune intégrale régulière, sans quoi on pourraitlerminer une décomposition de Q par un facteur régulier au moins, et, par suite, dans P =; QD, on en aurait plus de s à la fin, ce qui est impossible (n° 96, prop. II).
Les deux composantes Q et D possèdent donc bien les propriétés énoncées.
2° La condition est suflîsante.
Soit, ep effet,
r — QD,
D = o ayant toutes ses intégrales régulières et Q = o n'en ayant aucune. Toute solution de P = o qui satisfait àD = o est régulière. Toute solution de P — o qui ne satisfait pas à D — o satisfait à l'une des équations D =-- a, obtenues en remplaçant u par les diverses intégrales de Q — o. Or, par hypothèse, aucune de ces intégrales n'est régulière. D'autre part, si dans D on remplace y par une fonction de forme régulière, on oblient (n° 46) une expression de même forme. Donc aucune valeur régulière de vne peut rendre D égal à u. Donc les équations D ~ u n'ont aucune solution de forme régulière, et, par suite, les seules intégrales régulières de P ~ o sont les s de D = o.
Il est facile d'apercevoir la cause de la différence 7 — s qui peut
exister entre le degré ■/ cle la fonction déterminante «le l'équation P ~ o, et le nombre s de ses intégrales régulières linéairement indcpeiidantcH.
Si, en effet, on décompose P en facteurs symboliques tels que
h décomposition, quelle qu'elle soit, renfermera, comme on l'a vu, y facteurs réguliers; en outre, sur ces 7 facteurs, un groupe de s au plus peut être rejeté à la fin de la décomposition. Donc 7 — 5 est le nombre des facteurs réguliers qui ne peuvent faire partie de ce groupe final. Autrement, mettons P sous la forme
P -- QO,
donnée parle tliéorème précédent; 7 — scsl le nombre des facteurs réguliers qui entrent dans Q. Ainsi, la différence en question tient à la présence de facteurs réguliers dans une décomposition de Q.
Si j'observe que les fonctions déterminantes de D et de Q sont respectivement de degrés s et 7 ~ s, je puis formuler les deux théorèmes qui suivent :
Théorèmk 111. — Pour que l' équation différentielle P = o, d'ordre m, ayant une fonction déterminante de degré 'i, admette 7 — ^ intégrales régulières linéairement indépendantes, ilfaut et il suffit que l' expression P soit de la/orme P = QD, où Q et D sont de même nature que P, Q = o étant d'ordre m — -/ -h (i, n'ayant aucune intégrale régulière et ajant une fonction déterminante de degré [j..
Théorème IV. — Pour que V équation différentielle V = o, d'ordrem, ayant une fonction déterminante de degré 7, admette exactement des intégrales régulières linéairement indépendantes, ilfaut et il suffit que l'expression P soit de la forme P = QD, oii Q cf D sont de même nature que P, Q étant d'ordre m — 7 et ayant pour fonction déterminante une constante.
Je démontrerai encore cette proposition :
Théoeème V. — Les s intégrales régulières linéairement indépen-
THÉORIE DES ÉQUATIONS ]>IFFliRENTlKI.r-KS LINÉAIRES. 129
danles de l'équation différentielle P = o appartiennent à des exposants qui sont s des racines de son équation déterminante.
En effet, mêlions l'expression P sons la forme
p = Qn,
donnée par le théorème II. D'après le n" 93, on a entre les fondions (Iclermioaiîtcs la relation
Or, les 5 Intégrales régulières de D = o, c'est-à-dire toutes les intégrales régulières de P = o, appartiennent à des exposants qui sont (n" 97, tlicor. V) les racines de son équation déterminante k(p)^= o. Donc, à cause de cette relation, les intégrales régulières de P = o appartiennent à s des racines de g{p)= o.
99.' Je terminerai par les théorèmes qui concernent l'équalion adjointe.
Je rappelle d'abord que, si une expression différentielle est composée de plusieurs expressions, l'expression différentielle adjointe est composée des expressions adjointes rangées dans l'ordre inverse
(n^QS). J'observe ensuite que, — ^ —«/étant l'adjointe de -^ — ay, un facteur premier symbolique aura pour adjointe une expression qui, changée de signe, sera elle-même un facteur premier. On voit enfin,
en formant les fonctions déterminantes de -/^ — ay et de — ~ — av, que, si le facteur -p — ay est régulier, ces deux fonctions se déduisent l'une de l'autre en changeant p en — p, et que, si ce facteur n'est pas régulier, elles sont égales à une même constante.
Théorème I. — Les fonctions déterminantes g[p) et Ç{p) des deux expressions adjointes P et 'S se déduisent l'une de l'autre en changeant p en — p -\~ ^— i, x^ étant la puissance de a; par laquelle il faut multiplier P pour l'amener à la forme normale.
Considérons, en effet, une décomposilionde l'expression P en facteurs
symboliques tels qiio
i^elle décomposition.
Dans les coefficients des facteurs qui renferment un nombre illimité (le puissances négatives de x, je supprime provisoirement les puissances (le cc^' dont l'exposant est supérieur, en valeur absolue, à un nombre arbitraire n; j'obtiens ainsi l'expression composée
qui est de même nature que P, et qui contient les mêmes facteurs réguliers.
Je désignerai par g'{p) et '-j(p) les fonctions déterminantes de P' et de l'adjointe <S' , par H,-(p) et A^(p) celles de B,- et de l'adjointe nJi.i. En outre, j'appellerai x^' et a;'" les puissances par lesquelles il faut multiplier respectivement P' et B^ pour les amener à la forme normale.
On a [a" 94)
r'(p) = H,(p).H,(p-yi,)...H,-(p--fl. --/i=-...^-fl,-,).--H™(p~ïi, -vj,-...-'fi,„. et l'on voit facilement qu'on a aussi
bien que les facteurs ni. ne soient pas à proprement parler des facteurs premiers, puisque leurs premiers coefficients sont — i et non -i- i . Je pose
je remarque l'égalité (n" 94)
ct je vais comparer les deux produits qui expriment g'(p) et Ç'ip)-
THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. l3l
Si le facteur B,- est régulier, comme alors A,(p) est égal à H,-(— p), on aura
/MP-V) = H/(-P + v,'),
et comme ij/ est ici égal à l'unité, et que 15' est égal à /B'—y;,- — -fl, cette égalité deviendra
Si le facteur B,- n'est pas régulier, comme alors les fonctions ^,-(p} et B/fj) se réduisent à une mémo constante, on aura encore
/,,.{p-V) = lI,(-p+P'-.-»i).
Donc, dans tous les cas, h^ip — -n'), qui entre dans ^{p), se déduit de la quantité correspondante Ei{p — vj), qui entre dans^'(^), en changeant j5 en — p -I- P' — I. Cela ayant lieu pour i =:= 1, 2, 3, . . ., m, on en conclut
Cette identité étant établie, faisons croître indéfiniment le nombre arbitraire n\ l'identité subsistera, et, comme les variables <i"(p), g'{p} el (3' qui y figurent ont des limites {i'(|s), g[p) et |3, elle aura lieu untre ces limites; d'où
gip) = ^["P + P->)-
Théorème 11. — Si T équation différentielle V ^ o a toutes ses intégmîes régulières, il en est de même de l'équation adjointe 'S ~ o.
La démonstration résulte des théorèmes I et II du n" 97, comme au n°66.
Enfin le théorème IV du n° 98 se transforme évidemment de la manière suivante :
Théorème III. — Pour que l'équation différentielle V ^^o, d'ordre in, ayant une fonction déterminante de degré-'/, ait exactement 7 intégrales régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que V équation adjointe <F = o admette toutes les intégrales d'une équation différentielle d' ordre m — "/ , ayant pour fonction déterminante une constante .
