P -^ QU

où les deux composantes linéaires liomogènes Q et D sont d'ordres m — s &\.s et ont pour premier coefficient l'unité, les autres présentant le caractère des fonctions rationnelles. P est alors d'ordre m et de même forme. Soient a?\ x' et x^' les puissances de ce par lesquelles il faut

I lo G. FLOQliET.

mulliplier respectivement les expressions P, Q et D pour les amener à leur forme normale. I! s'agit de trouver la relation qui existe entre les fonctions déterminantes g(p), l^ip) et h{n) do ces trois expressions. Dans l'expression D, je fais la substitution

elle devient D', cLD' a la forme normale; il suffit de réfléchir à la formation de ses coefficients pour s'en assurer. P(/) devient alors QD', c'est-a-dircP(a.''''s). Puis je ramène Q à sa forme normale Q', en le mutlipliant par œ-.. On a donc

Donc x'-V{œ''y) a la forme normale, et sa fonction déterminante g'((/] est le produit des fonctions déterminantes l-'if) eih'\ç) deQ' et deD':

Remarquons, en passant, l'égalité

Or, d'après la propriété établie au n" 33, les fonctions déterminantes de x''9{x''y) ou 'P{v'''"y) et de D(j:.'V) se déduisent de celles deP(x) et de D (7) en changeant p en p -\- -rr, d'où

s' i?) = gip + --î). /''(p) = /'(," + ■'■•],

et, par suite, à cause de à'(p) = li{o),

Si donc je change p en ,^ — ■/}, j'obtiens l'identité cherchée

En particulier, si D est de ta forme

X dx'-' x^ dx'--

on aura

car alors fi est égal ji

ÏHliORTE nES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 119

94, Du cas de deux expressions composantes on passe facilement au

cas de trois :

r = QDL.

Si aP' est !a puissance de a; par laquelle il faut muliplier la nouvelle expression L, pour la réduire a sa forme normale, et si l(p) est sa fonction déterminante, on aura

En effet, on a

Pr=Q(DL).

Or, soit/(p) la fonction déterminante de DL; d'après une remarque faite, on ramène DL à la forme normale en le multipliant par cc'''^'". On a donc

gip)^f{p)k{p-l-r.).

Mais

Donc

g{p) = l[9] !i{p-l) k[a - >. - -fi).

Remarquons l'égalité

En général, considérons une expression P, d'ordre m, composée de n expressions différentielles

les composantes D étant linéaires, homogènes, et ayant pour premier coefficient l'unité, les autres présentant le caractère des fonctions rationnelles; si g(p) est la fonction déterminante de P, et- si A,(p) est celle de D,, si en outre x^' est la puissance de xpar laquelle il faut multiplier D,- pour le réduire à sa forme normale, on aura l'identité remarquable

g{p) = h,(9)h.{?-r„)/H{p-r,.-r,,)...li.{p^-0,~rr^~...--^.,-,).

On a d'ailleurs

x'^ étant la puissance de x par laquelle il faut multiplier P pour l'i la forme normale.

I30 G. FLOQUKT,

Lorsque les expressions D sont toutes des fadeurs réguliers, on ;

et, par suite,

C'est la formule que j'ai démonlrée plus haut direclement. Je déduis du théorème général celte conséquence importante : Le degré de la fonction déterminante de P est la somme des degrés des fondions déterminantes des expressions composantes D.