INTRODUCTION
En i866, M. Ftichs a publié un Mémoire fondamental (') sur les l'onclions d'une variable imaginaire définies par une équation différentielle linéaire. M- Tannery a exposé les principes et les résultats de ce travail, en même temps qu'il en a agrandi le cadre par des recherches personnelles (* ). Depuis, M. Tannery a étudié (') en particulier l'équation qui, dans la théorie des fonctions elliptiques, relie au module la fonction complète de première espèce.
A partir de 1868, époque à laquelle parut un second Mémoire de M. Fuchs, l'étude des équations différentielles linéaires, devenue classique en Allemagne, y a donné naissance à un grand nombre de travaux. M. Fuchs a persévéré, et deux géomètres éminents, MM. Thomé et Frobenius, ont entrepris des recherches intéressantes et profondes sur ce sujet (').
j'ai pensé être utile en appelant l'attention sur ces analyses, qui ont
( ' ) Journal de Crellc, t. 66.
(') Annales de PÉcoIe Normale siipé/icurc, aimée 1874.
(') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, avril 1878.
(') Journal de Crelle, t. 74 et suiv.
/| G. IX0(JL"KT.
leur point de dépai-L Jans les Jécouvertes de Caucliy et qui sont ia suite naturelle des belles études de M. Puiseux sur les équations algébriques, de MM. Briot et Bouquet sur les équations différentielles du premier ordre. Je me suis donc proposé d'élucider et de compléler le plus possible ces travaux, en prenant pour base les Mémoires de MM. Thomc et Frôbenius.
Dans la première Partie, je rappelle les principes fondamentaux de la théorie des équations différentielles linéaires.
La deuxième est consacrée à la définition des intégrales régulières et à leur recherche, cette recherche étant fondée sur la notion de l'indice caractéristique.
Dans ia troisième Partie, je définis la fonction caractéristique, la fonction déterminante, et je ramène la notion de l'indice caractéristique à la considération plus naturelle de la fonction déterminante. Puis on introduit les formes normales, les expressions composées, et l'on établit une proposition capitale concernant la fonction déterminante d'une expression composée de plusieurs formes no'rmales. Enfin, on pose les principes de la réductibilité des équations différentielles linéaires.
La quatrième Partie traite de l'application des notions qui précèdent à l'étude des intégrales régulières.
Dans la cinquième, on construit l'expression différentielle adjointe et l'on établit ses importantes propriétés. L'équation adjointe est en rapport intime avec l'équation proposée, ce qui conduit à de nouveaux théorèmes concernant les intégrales régulières.
Dans la sixième Partie, je définis et j'étudie la décomposition des expressions différentielles linéaires homogènes en facteurs premiers symboliques; je fais ressortir à ce propos les analogies de ces expressions avec les polynômes algébriques; je trouve encore les conditions que doivent remplir les facteurs pour être comniutatifs, et la forme que doit affecter une expression différentielle pour être déconiposable en de pareils facteurs; puis j'applique la décomposition à l'inlégration de l'équalion linéaire complète, connaissant l'intégrale générale de l'équation privée du second membre.
Enfin, la septième Partie est l'application des considérations de la précédente à l'étude des intégrales régulièi'es. Admettant la proposition fondamentale démontrée dans la ti'oisicme Partie cl concernant la fonc-
THÉORIE DES ÉQUATIOSS Ull'TÉRENTlELLES LISÉAIRES, 5
lion déterminante d'une expression composée de plusieurs formes normales, J'obtiens d'abord un tbéorème, également simple, ayant lieu quand les composantes n'ont pas la forme normale. Je fais intervenir ensuite les décompositions en facteurs premiers symboliques à coefficient monoirope. En dernier lieu, je donne une nouvelle interprétation du degré de l'équation déterminante et du nombre des intégrales régulières; puis J'établis, avec facilité, toutes les propriétés d'e ces intégrales.
Le fond de ce travail appartient à MM. ïbomé et Frôbenius. Les métliodes élégantes de M. Frôbenïus m'ont paru pleines d'intérêt, et je les ai surtout mises à profit. J'ai modifié quelques démonstrations, j'ai développé particulièrement certaines considérations et j'ai introduit de nombreux raisonnements intermédiaires. Enfin, j'ai ajouté les deux dernières Parties, qui reposent sur l'emploi des facteurs symboliques que ] appeWe premiers , et ([ui me sont entièrement pei'sonnelles.
