PREMIERE PARTIE

1. Nous considérerons l'équation diderentielle linéaire homogène

OÙ les coefficients p sont des fonctions de x continues et monogènes dans une partie T du plan "a contour simple, sauf en certains points a, b, c, . . . isolés les uns des autres. Les fonctions^ seront supposées monotropes, au moins dans les portions de la région'T, à contour simple, qui ne renferment aucun des points a, b, c Ces points particuliers, pour lesquels les coefficients p cessent d'être boloinorphes, ont clé nommés les points singuliers de l'équation différentielle.

2. La défiiiltion précise de ce qu'on doit entendre par une solution de l'équation différentielle P = o a clé déduite de ce principe :

Si cc„ est un point non singulier de la région T, il existe une fonction

b r.. ri.ooi;"-

de X, liolomorphe dans son domaine, qui satisfait k l'éqnalion P = o, les valeurs de celte fonction et de ses m — i premières dérivées au point Xn étant arbitraires.

Faisons décrire à la variable x un chemin quelconque, allant du point Xf, au point X, compris dans la région T et ne contenant aucun point singulier. Les valeurs des coefficients p au point x^ étant connues, le théorème précédent permet de définir, en chaque point du chemin ic^X, la valeur d'une fonction j, continue et monogène le long de ce chemin, satisfaisant constamment à l'équation P — o, et ayant au point a:„, ainsi que ses m — i premières dérivées, des valeurs arbitraires. C'est cette fonction y qui constitue une solution ou une intégrale particulière de l'équation différentielle P — o.

Les diverses intégrales particulières se distingueront mutuellement par les valeurs initiales j„, y„,yo, ■ . -, y^'^''^', choisies en un même point x^, et l'intégrale générale renferme ces m. constantes arbitraires.

3. Toute intégrale particulière y possède d'ailleurs les propriétés suivantes :

Si, les points x^ cl X restant fixes, le chemin x„ X vient à se déformer sans franchir aucun point singulier et sans sortir de la région T, ce chemin conduit constamment en X à la même valeur delà fonction j.

Cela a lieu en particulier lorsque le point final X coïncide avec le point initial x^. De plus, si le chemin fermé Xf,'^Xi^ est tel qu'on puisse le réduire au seul point x^ sans lui faire franchir aucun point singulier et sans le faire sortir de la région T, la fonction y reprend en x^ sa valeur initiale ^o» api°ès la révolution de la variable, comme chaque coefficient/».

La fonction y est développable en une série, procédant suivant les puissances entières et positives àh x ~ x^. et convergente dans tout cercle décrit du point.ro comme centre, compris dans la région T et ne renfermant aucun point singulier.

La fonction/ étant holomorphe dans la partie T du plan, à contour simple, excepté pour les points singuliers, si l'on décrit autour de chacun de ces points une circonférence infiniment petite, et qu'on supprime de l'aire 1 tous les cercles ainsi obtenus, on pourra, au moyen de coupures conven;)blement pratiquées, déduire de la partie T du plan

ïlIliOllTI: DKS IIQUATIONS IMl^l'^liRCNTlKLLr.S LISÉAIUF.S. 7

une nouvelle partie T', à contour simple aussi, où la fonction y sera partout holomorphe, comme les coefficients/).

4. Je (lirai que m fonctions y, ,/;,,...,/,„ sont linéairement indépendantes lorsqu'il n'existera entre elles aucune relation identique de la forme

les C désignant des conslanles dont plusieurs peuvent être nulles.

La condition nécessaire et suffisante pour que ces m fonctions soient linéairement indépendantes est que le déterminant

dx"'~ ' ' ' ' ilx

ne soit pas identiquement nul.

Au cas oïl y,, ja, . .. ,/,„ désignent m intégrales de l'équation P = o, on a, d'après une proposition de M. Liouville,

C étant une constante, et, p,ir conséquent, la condition est ici

Lorsque cette condition est remplie, la même identité montre que i ne peut s'annuler qu'aux points singuliers.

5. Considérons un système de m intégrales de l'équation P — - o, qui soient linéairement indépendantes, j,, jsr . ■ ■ ,/,„■ H suffit pour cela que A ne soit pas nul au point initial œ^ ; il existe donc toujours de pareilles solutions. On donne à ce système le nom de système fondamental d'intégrales. Le déterminant A correspondant ne peut s'annuler qu'aux points singuliers.

On obtient en particulier un système fondamental quand on déduit les intégrales /i , Ji, ■ ■ . , ym successivement les unes des autres par les substitutions bien connues de la forme

y^v,fçdx,

yGoosle