VI

/f-hrfw\ , ■

:|y(c-t-iO-'j

= f (») '^"iS)

, -TrCcC^-O + i]

-î^crf

Nous rappellerons encore cette propriété fondamentale qu'en désignant par n un nombre premier et posant

i' et tt sont liés par une équation de degré n -+- 1 , qui présente ainsi un type nouveau d'équations algébriques dont les racines se séparent analytique» ment par l'introduction d'une nouvelle variable. En désignant, en efFet, par £ un nombre qui soit i ou — i, suivant que 2 est résidu ou non résidu quadratique par rapport à n, les /i + i racines u seront

€ç(n«) et <p\^ — jj — j

m étant un nombre entier pris suivant le module n {*). Mais sans insister ici sur les autres propriétés remarquables des équations modulaires, je m'attacherai seulement au fait si important annoncé par Galois, et qui consiste en ce qu'elles sont susceptibles d'un abaissement au degré inférieur d'une unité dans les cas de

71 = 5, 7i=7et7i=ii.

Bien que nous ne possédions que quelques fragments de ses travaux sur cette question, il n'est pas difficile, en suivant la voie qu'il a ouverte, de retrouver la démonstration' de cette belle proposition; mais on n'arrive ainsi qu'à s'assurer de la possibilité de la réduction, et une lacune importante restait à remplir pour pousser la question jusqu'à son dernier terme (**)• Après des tentatives qui remontent à une époque déjà éloignée, j'ai trouvé que dans le cas de l'équation modulaire du sixième degré

a* — p' -f- 5u*if^ (w* — f')fh ^uif{i — u*if*) = o, on y parvenait aisément en considérant la fonction suivante

(*) La détermination de i a été donnée par M. Sohnke dans un excellent travail publié dans le tome XVI du Journal de M. Grelle sous le titre : AEquationes modulares pro transformatione fonctionum elUpticarum,

[**) Postérieurement à mes premières recherches restées inédites, mais dont les résultais avaient été annoncés ( ûfiitprffi de Jacohi, t. Il, p. 249)» un géomètre italien distingué, M. Betti, a publié un travail sur le même sujet dans les Annales de M. Tortolini.

(6) Effectivement les quantités

*(û7), 0(âï-i-i6), $(c7 ■+- 2.16), $(û; + 3.i6), 0(fi7-t-4-i6)

sont les racines d'une équation du cinquième degré dont les coefficients contiennent rationnellement f (o), savoir :

Or on voit qu'on ramène cette équation à celle de M. Jerrard eu faisant simplement

car il vient par là

Donc il ne restera plus, pour arriver à l'expression des racines de l'équation

par la fonction $ {g>)^ qu'à déterminer a ou plutôt^ (o)) par la condition suivante :

Soit, pour sitnplifier,

et prenons pour inconnue f*(^) ou le module k lui-même de l'intégrale elliptique, on parviendra à une éqtiLtion du quatrième degré

qui est susceptible d'une solution analytique sous le point de vue précisément où nous sommes placés en ce moment, car en faisant

on trouvera ces expressions des racines

Ar = tang|, tang— 7— . tang-^» tang— 4 —

(7) Faisant choix de l'une d'elle pour module, afin d'en déduire la valeur correspondante de », on aura, pour les racines de l'équation de M. Jerrard, ces valeurs

1 *(»-hi6)

C'est donc la résolution de l'équation, en tant que les racines se trouvent représentées séparén^ent par des fonctions uniformes. Quant au calcul numérique, la convergence extraordinaire des séries qui figurent au numérateur et au dénominateur de f (û))^ le rendra trèsHsourt, même dans le cas où q sera imaginaire, car on sait que son module peut toujours être abaissé

au-dessous de la limite e ^ ^ = o,o658. On peut aussi faire le développement suivant les puissances ascendantes de 9, ce qui donne, en posant,

pour simplifier, y^ = i|,

et Ton trouverait^ pour le carré et le cube de $ (û>),

La première des séries entre parenthèses manque des puissances de ({ dont

l'exposant est ^4» mod. 5, la seconde et la troisième des puissances dont les exposants sont respectivement se 3 et = a, mod. 5. D'ailleurs le changement de €ù en 67+ 16 m reviendra à multiplier la quantité <j par les diverses racines cinquièmes de l'unité.

J'observerai enfin que le système des cinq fonctions 4» (o^ + 16 m) possède

par rapport aux substitutions 7- qui appartiennent à la première classe,

des propriétés toutes semblables à celles de (p (â>]. Effectivement, en faisant, pour abréger,

9{co -h ï6m) = $^(<»), on trouvera, par exemple,

ITT

$„(&)-+- art) = ^„H.s„(û.)e V,

l'indice du troisième degré en m étant pris suivant le module 5. Mais pour les substitutions qui appartiennent à une autre classe que la première, on a des relations différentes et telles que celle-ci, par exemple,

OÙ la substitution appartient à la classe III. C'est à l'aide de cette dernière relation qu'on démontre que l'équation du cinquième degré en <b{eo) manque des termes en $*, 4>* et î>*, ainsi que je le ferai voir en détail dans une autre occasion.