SUR LA RÉSOLUTION

IIQIIATION DD QllATRIfilE DEGRÉ.

La théorie des formes cubiques à trois indéterminées conduit à plusieurs équations remarquables du quatrième degré qui jouent en particulier un rôle important dans la détermination des points d'inflexion des courbes du troisième ordre. L'étude de ces équations m*ayant fait remarquer qu'elles offrent la plus étroite affinité avec celles qu'on rencontre dans la transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, il ne m'a pas paru inutile de m'arrêter à ce rapprochement qui peut-être conduira à comparer de même les équations du neuvième degré dont dépendent les coordonnées . des points d'inflexion , avec celle qui se présente pour exprimer, par exem-

pie, sin am x par sin amx. Cette analogie, d'ailleurs, m'a ouvert la voie pour

représenter par les transcendantes elliptiques les racines de l'équation générale du quatrième degré, ce qui était le résultat auquel je désirais principalement parvenir. Avant d'exposer cette recherche qui se lie naturellement' à celles qui concernent l'équation du cinquième degré, je rappellerai l'origine et j'indiquerai les propriétés principales de ces équations spéciales du quatrième degré, auxquelles conduit la théorie des formes cubiques à trois indéterminées.

Soient, en employant les mêmes désignations que M. Cayley (*)i U une forme cubique quelconque, HU, PU, QU, le covariant et les deux formes adjointes du troisième degré par rapport aux indéterminées, S et T les deux

(*) Je renverrai, pour les expressions de HU, PU, etc*, au beau travail du savant géomètre, publié dans les Transactions de la Société RoyalCy sous le titre : Third memoir upon Quantics, H. 2

invariants de M. Aronhold, et S, une quantité définie par la condition

S»4-Sî = T»j ces équations seront :

(i) /(ar)=^*-6S je*-8Tjp-3S* = o,

(2) /,(a:) = a:*-6S,x»-8Tx-3Sî = o,

(3) F(x)= i2S.r*+8Tx»-6S*.r»-6STa:-T='-jS*=:o,

et voici leurs propriétés essentielles. Soient â une racine de la première et A une racine de la troisième, les deux fonctions

<^U-»-6HU, 6APU-1-QU

seront décomposables en facteurs linéaires. Désignons encore par d^ une racine de Téquation (2) qui a été déduite de l'équation (i) en permutant S et S| , on aura

en nommant d^ le déterminant de la substitution propre à réduire U à la forme canonique

j:* 4- ^* H- z* H- 6 Ixjz.

Ces quantités i^d^^ A auront d'ailleurs les relations suivantes :

et je me bornerai à donner ici leurs formes canoniques qui sont :

U = Jc» -f- 7»-|- »> -H 6/fr/«, HU = r(x»H- ;r»4- 3») — (1 -I- 2 /*) xr«, PU = — /(a:»4-r»-+- 2») - (i — 4/*)xrs,

QU = (i — 10 /») (jr» -h /•+«») — 6/«(5 + 4/»)xr«,

Tr=i — aol»-.8/«, S, = iH-8/>.

' ( ti )

Ceci posé, je comparerai d'abord à Téquation modulaire

les équations (i) et (a). On sait qu'en faisant u = ^ (ca), on a pour v les quatre valeurs

or, en posant et

on obtiendra pour les quatre racines ^ les expressions suivantes :

Maintenant si Ton change S en S|, afin d'arriver aux formules, analogues pour les racines â^ de l'équation (2), on sera conduit au module

TH-v/s;'

or à la relation S* -+- S^ = T* correspondra, entre k et /, celle-ci :

d'où récite immédiatement cette conséquence, que l'on passe deâ k â^^ en

changeant simplement o en •

Mais il est une autre équation du qua:trième degré que présente également là transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, et à laquelle se ramènent d'une manière phis imtnédiate encore lôs équations ( i ) et (2). Je veux parler de la relation entre le multiplicateur M et le mo-

dule k, qui est, en faisa'nt ^ = 2 (*) :

2* 6z» - 8(i - aA:*) - 3 = o.

En comparant cette équation avec l'équation (i), introduisant le module

et faisant usage de l'expression de M donnée par Jacobi dans les Funda-

{*) Jacobi a ap(>elé le premier l'attention sur ces équations qui offrent un grand intérêt, en particulier pour cette théorie de ]a multiplication complexe, sur laquelle M. Rronecker a récemment communiqué à TAcadéroie de Berlin des résultats aussi beaux qu'importants. Mais jusqu'ici on ne connaissait que l'équation donnée par Jacobi, et qui se rapporte à la transformation du cinquième ordre* CeHe que j*ai employée a été calculée par le P. Joubert qui, suivant l'exemple donné par M. Sohnke pouf les équations modulaires, s'est occupé avec succès de leur formation, et les a obtenues pour le cinquième, le septième et le onzièm§ ordre, sous les formes suivantes :

(M — I )* ^M — i\ -h ^ >tM"M» = o,

-h 2" it» ^'» (^» — X^'») M' -f- 33 . 2» ;t» it'» M» = o.

Un autre résultat très-intéressant^ obtenu aussi par le P. Jbubert, consiste en ce que, si l'on nomme M, M', W^ etc., les racines de l'équation pour le cinquième ordre, la fonction suivante des racines analogue à celle qui m'a donné la résolution de l'équation de M. Jerrard, savoir :

satisfait à cette équation :

X (x^ -h 5» . a» l^ k*J == 5» . 2". ;t* ^'4 (i — 4 >{.> it'») v^.

A la vérité on n'obtient pas immédiatement ainsi la forme simple de M. Jerrard, mais j'ai remarqué qu'on y parvenait en employant la substitution

comme on peut le vérifier aisément.

(.13 ) mentay on obtient pour les quatre racines è^ les valeurs suivantes

Vs \-, vs — -V" '

sin'ooani 2 k sin* coam ^(K -h ' K.')

sin»am|iK' ^ sin'am |(K— iK')