I -f- a* — «'* — m" — u^^ H- w** -h tt

et qu'on trouvera par suite

(D=M« ( I -I- 3 tt» ~ 3 1^^* - 3 w*2 H- «*° H- ) mod 1 1 .

A Maintenant si l'on met à la place des diverses puissances de u leurs développements en fonctions de ^, il viendra

Or, c'est précisément le résultat auquel conduit la congruence, en faisant les développements indiqués, d'où résulte la vérification que nous désirions obtenir.

» XIV. C'est à ce point que je me suis arrêté jusqu'ici dans l'étude des équations modulaires, et il ne me reste plus, en considérant en particulier celles du sixième, du huitième et du douzième degré, qu'à donner la méthode que j'ai suivie pour en déduire des réduites d'un degré moindre d'une uni^. Galois, ainsi que je Tai déjà dit au commencement de ces recherches, a le premier découvert le fait si remarquable de cette réduction, au

double point de vue de la théorie des fondions elliptiques et de l'algèbre, et voici, dans ses idées, le théorème qui sert de principe fondamental.

» Remarquons préalablement que les racines de l'équation modulaire sont représentées par

i; = w" (sin coam ip sin coam 4p- • • sin coam(/z — i)jo),

en faisant

OÙ m et mf sont deux nambres entiers qu'on peut multiplier par un même facteur sans changer la valeur de s^. Il en résulte que c'est uniquement le

rapport — qui définit chaque racine, et comme les deux termes sont pris

suivant le module «, il reçoit d'une part la valeur oo pour in^o, et de l'autre la série des n nombres entiers o, i, a,..., /i — i. On est donc conduit naturellement, pour représenter les racines de l'équatipn modulaire, à

la notation i^^, k désignant — et devant représenter les /i -H i valeurs oo ,

o, I, a,..., 72 — I. Cela posé, voici la proposition de Galois :

» ToiUe Jonction ralionnelle non symétrique des racines i^f^ qui ne change pas

en remplaçant les divers indices k par -7 — -y «, b, c^ d étant des nombres

efUiers pris suivant le module n, et le déterminant ad — bc n'étant pas ^ o (*), sera exprimable en Jonction rationnelle de u (**}.

» J'ajouterai la remarque que ce théorème subsiste en particularisant la

substitution -7 ^j de manière que ad — bc soit résidu quadratique

de w, pourvu qu'on s'adjoigne le radical V.(— i) * n. Tel est, par exemple, le produit des différences des racines II ((^* — V^/), qui change de signe ou

se reproduit exactement, loi%qu'en remplaçant k par -7 ^^ ad^ bc est

(*) M. Serrét a fait des substitutions de cette forme l'objet de ses recherches dans plusieurs articles publiés dans les Comptes rendusy t. XLVIIIy séances des 10, 1 7 et 24 janvier i SSg.

,**) Une démonstration de c« théorème important a été donoée par le P. Joubert dans un travail que j*ai déjà cité (p. 12).

non résidu ou résidu quadratique de n, et qui s'exprime, comme on l'a vu § XIII par une fonction rationnelle de u à coefficients entiers, mais affectée

/" — îZr

du facteur V (— i) ^ n. En effet, nommant F et F' les deux valeurs que peut prendre une fonction rationnelle des racines invariable par les substitutions où ad — bc est résidu, les deux expressions F + F', "^^ — r resteront invariables pour la totalité des substitutions, et s'exprimeront rationnellement en w, d'après la proposition de Galôis; il en résulte que F et F' s'exprimeront elles-mêmes sous la forme annoncée.

» Ce point essentiel établi, la question de l'abaissement des équations modulaires à un degré moindre d'une unité dépend d'une étude plus approfondie des substitutions -7 — ^5 et dont quelques traces seulement subsistent dans ce qui nous a été conservé des travaux de Galois. C'eât en suivant la voie qu'elles indiquent, que M. Betti a retrouvé l'importante proposition relative aux équations du sixième, du huitième et du douzième degré, et l'extrait suivant d'une Lettre que m'a fait l'honneur de m'adresser ce savant géomètre montrera comment de cette manière âe présentent les résultats auxquels de mon côté je parvenais par une méthode toute différente :

« Pise, a4 mars 1869. -

» Dans un Mémoire Sopra C abassamento deir equazioni modulariy publié » en 1 853 dans les Annali di Torlolmi, j'ai fait l'élude des substitutions

* (0"7 — ^' pour démontrer la possibilité de l'abaissement des équations

i> modulaires, et j'ai obtenu les résultats que vous me communiquez dans » votre Lettre.

o Voici pour le module premier n = 4 /? + 3 'es expressions que j*ai trou- M vées alors pour la décomposition en n groupes du groupe dont toutes les » substitutions sont données par la forme ( i ) où ad — bc est résidu de n.

» Si g' est u ne racine primitive de «, jouissani de cette propriété, que g — i » étant résidu de/2, les puissancesimpaires <n— a deg vérifient lacongruence

[g"^-^' — g(ff -+■ 0^-+- ^][ë^^^ — (&-*" 0^+ ï] = o mod/i » (ce qui n'arrive que pour /i = 7? 1 1 ), on aura, si l'on fait

(6i ) » un groupe [k, 6 fk)] de (^"^ ^^J^"" '^ substitutions de la forme (0 telles,

» qu'en faisant sur ce groupe les substitutions (A:, A: -f î), on obtient n grou- » pes, dont l'ensemble est le groupe proposé.

» Or si « = 7 on a deux racines primitives g = 3, g = 5, 5 — i est résidu » de 7 et les deux puissances impaires de 5 inférieures à 5, c'est-à-dire 5, » 5* vérifient la congruence

(a:r" H- nic-h i) (4^:* -f-or-f- i)^o mod 7.

» Donc, lorsque n = 7, on a deux systèmes de valeurs pour 6 (A), à » savoir:

» en prenant g = 3, et :

» en prenant g = 5, a et 6 désignant des résidus de 7.

» Si 71 = 1 1 , on a quatre racines primitives : a, 6, 7, 8 ; 2 — 1 est résidu » de f I et les puissances de a^ impaires et inférieures à 9, vérifient la con- » gruence

{^.x^ — 6x -h i) (4-3^* — 3a? 4- 1)^0 mod 1 1.

» De même, 6 — 1 est résidu de 1 1 et les puissances de 6 impaires et infé- » rieures à 9 vérifient la congruence

(3a:* -f- aor 4- î){3x^ -+• ^x-h 1)^0 mod 1 1.

» Or si l'on prend g = ^j a et b résidus de 1 1^ on aura

^W==«T3rr' -^nzTÂ' ^*^

» et si Ion prend g = 6 ,

cv / / \ ^ — &b k — b , — a

>> Les racines primitives 7 et 8 ne jouissent pas de la propriété de rendre » g — I résidu de 1 1, et la congruence lorsqu'on y fait g = 7, 8 n'est pas H satisfaite par les puissances de 7 et 8 impaires et inférieures à 9.

») Les substitutions 6 (Aj, 9- (Xr) jouisseot de la propriété d'être à lettres » conjointes, c'est-à-dire qu'en divisant les lettres en systèmes de deux let- M très chacune de la manière suivante :

if

» toute substitution (>f), S* (A), on échange entre elles les lettres d'unsys- » téme, on change un système dans un autre.

» Dans le cas den= 5 j'avais obtenu des résultats semblables aux pré- »» cédents et formé un groupe de douze permutations en considérant les « trois substitutions :

« et celles qu'on en déduit en les composant entre elles »

» XV. C'est sous un point de vue bien différent que je vais maintenant traiter les mêmes questions. Ainsi laissant de côté toute considération relative aux décompositions de groupes, je définis à priori, pour 72 = 5, 7, fi, les racines z des équations réduites du cinquième, du septième et du onzième degré, de cette manière, savoir :

les indices i devant être pris respectivement suivant le module n. De la sorte on obtient trois systèmes de tî fonctions rationnelles des racines ç^, et je vérifie que les quantités qu'ils comprennent ne font que s'échanger entre elles lorsqu'on fait respectivement ces substitutions :

Il en résulte, par des compositions successives, que ces systèmes demeurent invariables pour les substitutions (^ )' o\x a est un résidu quadratique quelconque de n. Maintenant il est visible qu'ils ne changent pas rK>n plus

lorsqu'on fait la siibstitiUion y^ | -, et si Ton vérifie encore qu'il en est de

même à Tégard de celle-ci / j» on arrivera à cette conclusion qu'ils

demeurent invariables pour toutes les substitutions où Ton met, au lieu

de A:, — — -9 ad— bc étant résidu de 72. En effet, cette expression, dans

toute sa généralité, s'obtient en composant entre elles celles que nous venons de considérer. Le théorème du § XIV suffit donc pour nous assufer que les équations réduites en z auront potir coefficients des fonctions rationnelles de u^ où ne figureront d'irrationnelles, suivant les cas,

que les radicajiix ^5, V^ 7? V"^ * * •

» Si Ton cherche maintenant les substitutions spéciales I ^ 1 qui

laisseront invariable une seule des racines considérée isolément, Zq par exemple, on trouvera aisément ces résultats, où a et & désignent des résidus quadratiques de n, savoir :

e,iv 7 — a k — y.b k -^ b

{k)~ak, —, rt-j^TT» -"/— ^-

• Ce sont les expressions auxquelles M. Betti est arrivé par une autre voie, et qui forment en général substitutions conjuguées, de sorte que toutes

les quantités t où ad^ bc est résidu quadratique de n, peuvent être

ainsi représentées :

/étant un nombre entier pris suivant le module a/.

» Enfin si l'on désigne par z^^c^ ce que devient z^ lorsqu'on effectue sur les racines s^ les substitutions que nous avons considérées, on trouvera pour :

71=5 f{i)^ai -h b^ {ai-hby-i-Cf

n = 'j (p (i) ^ à/ -h i ^ — (rt/ -+- 6)' — 2 {ai -h by -+- c,

71 fis 1 1 (p (1) ^ m -h b^ {ai -hb)* -{-'i {ai 4- by -t- c^

(64) 6 et c étant des nombres entiers quelconques pris suivant le module /t, et

a étant résidu quadratique, ce qui représente en général ^ ^ ""'^ substitutions distinctes.

» Les équations du septième et du onzième degré présentant cette propriété que les fonctions non symétriques de leurs racines invariables par les substitutions ainsi définies ont une valeur rationnelle, constituent un ordre spécial d'irrationnalité qui les distingue nettement des équations les plus générales de ces degrés. Ce sont, suivant l'expression de M. Kronecker, des équations douées d'affectionSy et qu'il sera sans doute possible de ramener analytiquement à celles dont la théorie des fonctions analytiques a donné la première notion. Mais laissant de côté les belles et difficiles questions auxquelles conduit ce sujet, et que M. Kronecker a le premier abordées, je

me bornerai à faire voir que }/' | représente bien, en attribuant à la fonction ff toutes les valeurs, un système de substitutions conjuguées. Posons en effet pour un instant

de sorte qu'on ait pour w = 7

<p{i)^ai-i- 6^/ (m -4- b) -+- c,

on vérifie sans peine que

X [/('■)] = '■ ] mod7,

X [«X (0 + *] = aai*x (»■ ^- À) + <=o»**

a étant supposé résidu de 7. Et faisant de même pour n = 1 1

X(0si«+3t*, on aura

X[X(0] = ' mod II,

a étant résidu de 1 1 .

> Ainsi les fonctions ;((<7{ + 6), comme les expressions plus simples ^ii 4-. 6,

(65) se reproduisent par la composition. De là résulte pour les nombres pre-

miers /î=7, ii, l'existence de fonctions de w lettres ayant . ' / , " ' v i

c'est-à-dire 3o et 6o48o valeurs. Toutes deux ont été rencontrées par M. Kronecker, qui a le premier publié {Comptes rendus des séances de CAcamie de Berlin, aa avril i858) le cas des fonctions de sept lettres, et fait à l'égard de la représentation analytique des substitutions ici employée (*) une observation pleine de justesse, montrant de quelle manière deux expressions algébriquement différentes peuvent cependant ne représenter que la même substitution, et par là réduisant à un seul et même type deux systèmes que j'avais d'abord considérés comme distincts. [Vojrez les Annali di Matematica, aLunée iSSg, n^ i et 2.)

)> XVI. Le calcul des équations réduites en z pour les trois valeurs de n que nous avons à considérer repose sur deux remarques : que l'on peut y

remplacer d'une part u par tu et z par s ^ z^ e étant une racine huitième

n* — ï «-ht

de l'unité; et de l'autre, ù par - et js par -^ (— 1) ^ ^ • La pre-

mière, jointe à cette observation que le développement des racines en

nH-t

fonction de q commence par \v^ y Ç"/ > prouve que les coefficients sont des polynômes en u^ contenant en facteur une certaine puissance de u ; ainsi ces équations sont composées de termes de cette forme :

z"-'. u'» {a -+- bu^-h cu^^-h ..'-*- hu^f'), et l'exposant a» se détermine en prenant la valeur positive de v — (mod 8),

qui est immédiatement supérieure à la quantité v - — '- La seconde remarque montre que les polynômes a -h bu^-^- cw'*-4- . . . sont réciproques, mais à cet égard en distinguant des deux autres le cas de n = ii, à cause

du facteur (—1) ^ ^ alors égal à ^i. De là résulte en effet que les

(*) 1/68 expressions dans le cas des substitutions de cinq lettres, savoir : z/, z^i^^ ^{a(+b)* ont été données avant moi par M. Betti, dans le tome II des Annales de Tortolini, P* '7- Pour le cas de sept lettres, voyez les Annali di Matematica, année iSSg, n"* i.

fl. 10

polynômes facteurs des puissances paires de z ont leurs coefficients équtdistants des extrêmes égaux et de signes contraires, tandis que ceux qui affectent les puissances impaires ont, comme pour /i = 5) 7, leurs coefficients égaux et de même signé. On en tire d'ailleurs, dans tous les cas, la valeur de p^ sous cette forme :

(n -hi)v — a

et si Ton observe enfin, ce qui est très-facile à établir, que la quantité 1 -- u* entre comme facteur dans le polynôme a+ bu^ +• c//'^h- ...-+- A/A" avec

un exposant (*) dont la limite inférieure est — 1 n + f - j , on aura réuni

tout ce qui est nécessaire pour pouvoir écrire à priori et sans calcul les équations réduites sous les formes suivantes, où D représente toujours le discriminant, savoir :

2» -h zau\\ - u^y — v'D = o.

» Le terme en z* n'existe pas, parce qu'on obtient pour p, une valeur négative; les termes en 2» et jz* disparaissent parce que les coefficients doivent respectivement contenir en facteur 1 — /^% (i — tt')^ ce qui est en contradiclion avec les valeurs p^ = o, p, = 1 .

« On a à remarquer cette circonstance importante que le coefficient a' est nul, et qui tient à ce que dans le développement des racines suivant les puissances de \/9 = (|, savoir:

r ) Cet exposant est impair lorque « = i , dans les coefficients des puissances paires de « ; mais, ce cas excepté, il est toujours pair.

la quantité entre parenthèses ne contient pas la première puissance de 4. De là sans doute résulte qu'on a ainsi le type analytique le plus simple des équations du septième degré résoluble par les fonctions elliptiques.

» En désignant comme précédemment par a, /S, etc., des constantes numériques, on a cette équation :

r.«« -H 2"»«H» (i - u*) ■+■ z*o!.'n* (i - «•)»+ z*a"MVi - ?«")»

+ z'u* (i - «•)»(/3 -h |3'«*H- jB//") + z««««(i - «• )» (7 -I- 7'«*"-f- 7«'«)

-h z'w'» (i - u*Y (Ç -•- ?'«•+ ?"«"-+■ ?"""-<- Ç"""-l- ?'"*"+ Çu**)

-H ztt* (1 - «•)*(e -I- e'«»+ ô"««*-)- ô""//" -4- ô'w" + e'/<*»-»- ô«*') - vD=o.

Ces constantes pourront être déterminées en développant les coefficients suivant les puissances de qy et substituant pour z le développement correspondant suivant la puissance de y/q. Le calcul assez long auquel on eât conduit n'est nullement impraticable ; je n'ai pas cru cependant devoir m'y arrêter, car le principal intérêt qu'on peut attacher au résultat concerne surtout l'étude des équations du onzième degré résoluble par les fonctions elliptiques. J'indique encore une fois, en terminant ici mes recherches, ces belles questions qui offriront une des plus importantes applications de la théorie fondée par Abel et Jacobi. Mais c'est surtout l'œuvre propre de l'immortel auteur des Fundamenta d'avoir reconnu ces rapports si remarquables des nouvelles transcendantes avec l'algèbre et les propriétés des nombres. Entre tant de beaux résultats dus à son génie, et qui ont ouvert des voies fécondes à la science de nos jours, je ne puis m'empêcher de rappeler dans les Notices des premiers volumes du Journal de Crelle les énoncés relatifs aux propriétés des équations entre le multiplicateur M et le module k. C'est là en effet que M. Kronecker a trouvé le principe de la belle méthode pour la résolution de l'équation du cinquième degré qui m'a été communiquée dans une Lettre publiée au tome XLVI, p. ii5o, des Comptes renduSj.et l'on pourra voir dans un travail très-important de M. Brioschi sur

ce sujet (*} comment cette méthode résulte des relations singulières qu'a données Jacobi entre les racines de ces équations dans le cas du sixième degré. Les travaux de ces deux savants géomètres ont ainsi ouvert une voie plus facile pour arriver à la résolution de l'équation générale du cinquième degré que celle que j'avais suivie en prenant pour point de départ la réduction de Jerrard à la forme jcr*— a: — a = o, et c'est en suivant cette nouvelle direction quje j'espère plus tard pouvoir y revenir pour contribuer à en faire l'étude approfondie qu'elle demande. »

{*) Sul metodo di Kronecker per la rizoluzione délie equazioni di quinto grado, dans les Actes de l'Institut Lombard, vol. P'.