A'=II
(1, O, 112) (2, o, 56) (4, o, 28), (8, o, 14), (7,0, 16) (4, 2, 29), (11,3, II), (8, 4, 16)
A = 120 (i, o, 120) (3, o, 40) (5, o, 24) (8, o, i5), (II, I, II), (4, 2, 32),
(i, 0, 208) (2, o, io4) (4, o, 52) (8, o, 26), (i3. o, 16)
('^^29),(ii,-i,29),(7,3,3i),(7,~3,3i),(4,2,53),(8,4,28),
I» Je remarquerai encore, avant de passer à d'autres points, comment on aurait pu être conduit par une voie entièrement arithmétique à la proposition dont il a été fait précédemment usage, et qui consiste en ce que l'en* semble des valeurs égales c^©» **! v^ ^nt ne diffère pas de la série des valeurs de H qui font acquérir à Téquation modulaire ces racines égales.
» Reprenons en effet Téquation Pw^ 4- aQw 4- R = o et la quantité u = 9(0.)), à laquelle, ainsi qu'il a été dit tout à Theure, correspondent les
deux racines égales : (pi- — ^j et (p ( "'"^ y En faisant
=cr,
on aura
équation dont les coefficients sont entiers, et qu'on peut regarder non seulement comme déduite d'une forme quadratique de même déterminant que (P, Q, R), mais encore comme présentant tous les .caractères propres aux équations en w. Effectivement, n étant impair et juiun multiple de 16, il «st clair qu'on aura
Pfj,^-Q = Qmoda, î^i^l±^5fi±«: = Rinod4.
wP, P|j.-|-Q, -^- ^^ 1 appartiennent à la même classe, on obtiendra précisément
Mais en général elles ne seront pas équivalentes, et l'on pourra seulement dire que toutes tes valeurs de u qui auront été déduites d'un sjrstème de classes de même déterminant se reproduisent dans les valeurs égales correspondantes des racines i'o, i^i, . . ., i'».
» VI. Une conséquence importante des résultats précédemment exposés consiste en ce que toutes les valeurs de w' = 9'(«) qui font acquérir des racines doubles à l'équation modulaire, représentent également des modules de fonctions elliptiques pour lesquels a lieu la multiplication complexe. Nous avons vu en effet que la quantité co dépendait de la relation
Aw*-f- aBco -h C = o,
(A, B, C) étant une forme quadratique de déterminant négatif, ce qui est
précisément le caractèt-e essentiel de ces modules. Je vais donc présenter à l'égard des équations algébriques qui servent à les déterminer les remarques auxquelles j'ai été naturellement amené par les recherches précédentes, et qui serviront de complément aux théorèmes fondamentaux déjà donnés sur ce sujet par M. Kronecker.
» Voici d'abord un choix particulier dont je conviendrai pour les formes destinées à représenter tes diverses classes quadratiques qui appartiennent au même déterminant. En désignant ces formes par (A, B, C) et faisant A = AC — B', je supposerai, ce qui est toujours possible, que C soit pair et A impair, de sorte que dans le groupe proprement primitif {*) on aura, suivant que
A ^ f mod 4 , B et - C impairs ;
A^2mod49 B pair et -C impair;
A ^ — I mod 4 9 B impair et G multiple de 4*
» En second lieu, et pour ce qui concerne le groupe improprement primitif, il ne sera posé aucune condition lorsque A^ 3 mod 8; mais dans le cas de A = — imodS, nous prendrons C impairement pair. Les formes ainsi choisies, et que nous garderons désormais pour représenter les classes, jouissent de cette propriété de conserver les mêmes caractères dans toutes leurs transformées par des substitutions au déterminant un^ xr=r aX + ]3 Y, jrz=z yX-H c^Y, où |3 est pair, a et c^ impairs. Cela posé, si l'on détermine co en faisant A«*4- 2BG)rf-C = o, (A,B,C) représentant successivement toutes les classes du groupe proprement primitif et de même déterminant — A, les diverses quantités a: = y* ^ w) seront racines d'une équation qui sera réciproque, dont le degré sera double du nombre des classes et dont les coefficients seront entiers, en supposant celui de la puissance la plus élevée de x égal à l'unité.
» A l'égard du groupe improprement primitif, on obtiendra comme précédemment une équation réciproque dont le degré sera encore le double du nombre des classes, mais avec une puissance de 2 pour coefficient du premier terme lorsque A^ — i mod 8. Enfin si l'on suppose A ^ 3 mod 8, le degré sera six fois le nombre des classes, et tous les coefficients entiers, celui du premier terme étant l'unité.
(*) Foyez la note de la page 35.
» Voici maintenant la méthode par laquelle on peut obtenir ces équations dans tous les cas.
• » VII. Convenons, pour mettre en évidence le déterminant des formes quadratiques dont elles dépendent principalement, de les désigner par
F<(a7, A) = o lorsque A^i mod49 Fj{j:, A) = o lorsque A^!2 mod49
le groupe proprement primitif existant seul pour ces deux déterminants. Dans les cas suivants, ce sont les équations qut^ répondent aux formes du groupe improprement primitif qu'il convient de considérer, et nous les désignerons par
^i(a:, A) = o lorsque A ^3 mod8, ^,(a:, A) = o lorsque A ^ — i mod 8.
Cela posé, soit 6 (i^, u) = o l'équation modulaire pour la tranformation qui se rapporte à un nombre impair n quelconque. En joignant à cette équation celles-ci :
I — if* '
oh en déduira quatre équations en a:, dont les premiers membres présenteront cette propriété remarquable d'être le produit de facteurs qui seront respectivement de la forme :
1°. F,(jtr,A) j / an — I, a/2 — 9, 271 — 25, ...,
2*^. FJXy^)\ ^ , , 1 2W, 2/2— 4, 2/2 — l6, ...,
, ) A ayant les valeurs < , . ^
4*>. j:'et ^a(Jcr,A) ) ( 8/2 — i, 8/2 — 9, 8/2 — 25,..
Il en résulte que les polynômes F,(cr, A), Fa(a-, A), ^^(jr. A), #2(a, A), s'obtiennent en déterminant le plus grand commun diviseur entre les premiers membres de deux des équations que nous venons de considérer, et ré-
pondant à deux valeurs de /?, qui seront successivement
,L, L-, p et |3'- étant impairs ;
»-> ^9 P et p étant pairs ;
3^. . > '^ » — 2"^' p et p étant impau's ;
4**. g ^ y — g~— > p et p' étant impairs.
» Voici ensuite comment, sans changer leur degré, on déduira des deux équations ^i (x. A) == o^ ^2(^9 ^) == o, qui se rapportent au groupe improprement primitif, celles qui correspondent au groupe proprement primitif. Dans les deux cas on calculera d'abord la transformée de degré sous-double
en z = y f X -f- a -h -|, puis on y remplacera z par l ^ | 1 ce qui ramènera au degré primitif (^). Enfin, pour passer des équations relatives au déterminant —A à celles qui concernent le déterminant — 4^> o^ ^^ra dans Féquation qui appartient au groupe proprement primitif des formes de déterminant — A la substitution
jc ^ — — -^ ^ •
Et si Ton représente les classes de déterminant — 4^9 ^onX les trois termes ne sont pas pairs en même temps, par des formes (À, B, C), ou C soit pair, A impair, en posant s
Aoi)*+ aBw-h C = o,
les quantités f*{^) seront précisément les racines de l'équation en jr. Elle est d'ailleurs évidemment d'un degré double de celui de Téquation en jc, de même que le nombre des classes de déterminant — 4^9 dont il vient d'être question, est double du nombre des classes de déterminant — A. L'application plusieurs fois répétée de ce procédé suffirait à donner les*équations qui se rapportent aux déterminants multiples d'une puissance de 4* M^i^ i^î îl convient de distinguer ceux qui sont le quadruple d'un nombre impair de
(*) Ce calcul présente, à Tégard de Téquation ^3(x,A) = o, la circonstance remarquable que le coefGcient de la puissance la plus élevée de jr, qui était une puissance de deux, deviept dans l'équation transformée égal à Punité.
ceux qui sont multiples de 8* C'est aux premiers que s' applique spéciale* ment la méthode qui vient d'être indiquée; et dorénavant les équations qui leur correspondent seront désignées par F^(ar^ A) — o. En représentant par Fj^{a:^A) = o celles qui concernent les déterminants multiples de 8, on a en effet cette proposition que le premier membre de l'équation en x qui résulte du système
analogue à ceux qui ont été considérés tout à l'heure, est le produit de tacteurs de la forme ¥^{Xyà)^ A prenant la suite des valeurs 4 ('^ — 0» 4(w — 9), 4 (w — a5\ etc. Je n'insiste pas. en ce moment sur les conséquences à déduire de là, non plus que sur beaucoup de questions importantes pour la théorie des formes quadratiques auxquelles conduisent les résultats précédents (*), et je me bornerai à remarquer que des propositions énoncées sur les réunions d'ordres nommées groupes proprement eiimpro» prement primitifs, on conclut immédiatement les suivantes :
» JjarU représenté le système des classes de i ordre proprement primitif pout^ im déterminant quelconque par des formes {A^B,C)fOUCest pair, A impair, les quantités (p*{(ù), en définissant o) par les relatiom Ac^^ + :> Biù + G ::;: o, sont racines d'une équation réciproque à coefficients entiers dont le degré est précisément double du nombre des classes.
• Et de méme^ si l'on représente les classes de r ordre improprement primitif de déterminant A ^ — i mod 8 par des formes (A, B,C), où C est impairement pair, on obtiendra une équation réciproque dont le degré sera encore double du nombre des classes.
» Mais pouf Tordre improprement primitif de déterminant ^'6 mod 8, le degré est six fois le nombre des classes.
» On peut enfin supposer égal à l*wiité le coe^ieni du premier Lerme dans ces équations, sauf pour celles qui répondent à V ordre improprement primitifs oii il est une puissance de % lorsque A =: -* i mod 8.
» VlII. La» principale propriété du polynôme i^ (^,A) coQsiste en ce qu'il se décompose en facteurs du sixième degré de cette forme remarquable
( * ) En particnHer fiour les somnaiîons aaalogiies à celles qui ont été données potir la pretiiière fois par M.Krooecker.
de sorte que la substitution y = ^-r-^ j— ramène l'équatiou i^ (x, A) = o
à un degré précisément égal au nombre des classes improprement primitives de déterminant — A. Gela résulte de ce qu'on peut réunir les racines
en groupes, où elles sont représentées par l'expression ^^(^ — r^U
tfi, h^ Cf d étant des nombres entiers quelconques/ tels que ad-^ bc:=: i. Or en faisant f * (d)) == p, cette expression représente les six valeurs distinctes
et telles seront les racines de l'équation (;r* •-«- x 4- 1)' + a ( Jt* •*- x)* =s o, car on vérifie immédiatement qu'elle reste la même quand on y remplacer
par -t I — X, et dés lors par les substitutions composées de celles-là, savoir
D'ailleurs p étant seul arbitraire, cette équation, qui
contient une indéterminée a, aura bien la forme analytique la plus générale. Elle se présente au reste d'elle-même, en recherchant dans les cas les plus simple^ le polynôme ^«(x, A). Partons, par exemple, des équations modulaires pour /t = 3 et /i = 5, auxquelles on doit joindre, d'après ce qui
a été dit : t^* = j: =: y Parmi les diverses formes dont elles sont susceptibles, je choisirai celles que Jacobi obtient en faisant 9 = 1 — a Ar*, /= I -^ a X*, savoir:
En effet, ces quantités s'obtiennent immédiatement en .r, et en substituant les valeurs
d'où
la première équation donne
(a;« - X + i) [(x* - * + 0» + a» (ar« - dp)* ] = o, et la seconde
[(a:« - X -M)» + 2' (jc» - x)« J[(jr» - « + 1)» ^hi». 3» (x» - «)»]= o.
Le facteui* commun aux deux cas répond à A = f i, et les autres aux déterminants — 3, — 19. Pour A = 27, on trouverait
(x* - jf + i)« -f- a^. 5* .3(0:* — xy = 0.
En général, lorsque Tordre improprement primitif de déterminant — A sera
formé de la seule classe (a, 1, U a sera un nombre entier qu'on
pourra calculer en exprimant que 1 équation est vérifiée pour j: = ç*(w),
ou d'après la condition aw* + a « H = o , w = ^^ — ^^ • Soit
donc q = e'"", on trouvera, en employant l'expression de Jacobi,
celte valeur où n'entre que ç* :
et par suite, en remarquant que 9*= — c""^^,
Or, depuis A= 19, les termes de la série, à partir du troisième, n'influent plus sur la partie entière, de sorte qu'on a exactement, en désignant par a
le nombre entier immédiatement supérieur k é^^^,
D'ailleurs ces termes négligés décroissent avec une grande rapidité lorsque A
augmente; il en résulte que la transcendante numérique e*^^ approche alors extrêmement d'un nombre entier. Soit par exemple A = 43, qui donne mie seule classe improprement primitive, on trouve
et a = a**'. 3*. 5*. Les déterminants — 67 et — 163 sont dans le même cas,
de sorte que dans la quantité e^^^^^ la partie décimale commencerait par une suite de douze chiffres égaux kg.
» IX. L'étude des fonctions F| (^, A) et F^ {jc^ A), qui se présentent avec les mêmes propriétés^ conduit à des résultats analogues à ceux que nous venons d'indiquer relativement à ^4 (x, A), tandis que ^a(^j ^)> q^* correspond à Tordre improprement primitif des classes de déterminant — A, dans le cas de A^— i mod 8, semble devoir rester entièrement en dehors de cette analogie. Réservant pour un autre moment l'étude de cette fonction, je me bornerai maintenant aux résultats qui concernent les deux premières, ^ dont voici la principale propriété :
» Si Ton excepte les cas de A = i, A = a, l'ensemble de leurs racines peut être décomposé en groupes, qui chacun en comprennent quatre que l'on peut représenter ainsi :
/.-v/^Y . A + vpV
Il s'ensuit qu'elles sont décomposables en facteurs du quatrième degré de cette forme :'
(x -h 1/ -4- ax [x — 1)*,
et qu'on peut ramener les deux équations Ft [Xy A) = o, F2(jr, A) = o à un degré quatre fois moindre, moitié par conséquent du nombre des classes
de déterminant — A. par la substitution r = -V^ -r--
» Les considérations arithmétiques qui conduisent à ce résultat montrent en même temps que le nombre des classes de déterminant — A est toujours pair lorsque A^i ou ^ a mod 4> sauf les exceptions ci-dessus mentionnées de A = I, A = a. S'il se réduit à deux, a sera un nombre entier, qu'on pourra calculer comme il suit :
i^. A^i mod4- M Les deux classes sont alors représentées par les formes réduites :
et la première donne l'équation
C 5o ) d'où
» Il suffit donc d'exprimer que {x -+- 1)* -h ax{x — i)* = o a lieu pour X = 9* (w), ce qui donne, en faisant q = c"'",
i6a = — (--h ip4 4- 4372c H- gôaSGç^-f- . ..)? et par suite comme d'après la valeur de w, 9 = — é^^^^,
Or depuis A = 9, on peut se borner aux deux premiers termes de cette suite, et si Ton désigne par a le nombre entier immédiatement supérieur à
, on aura exactement
a — io4 a = — TT^
» Les déterminants^ qui ne donnent ainsi que deux classes dans Tordre primitif et auxquels on pourra appliquer cette formule, sont
— 5, — 9, — i3, — aS, — 37, etc.
» Par la méthode algébrique indiquée plus haut, § VII, on obtient les résultats suivantis que l'emploi de la formule pourra servir à vériâer, savoir (*) :
{x H- i)* -4- ii^x{x — i)"= o A = 5,
{x -h lY-h 3.^^x{x — if=o A = 9,
{x -h i)*-f- 3Va«x(a:- i )* = o A = i3,
{x-^iY-h 5.3*.a'a:(jc-i)»=o A = aS.
a**. A^a mod 4*
» Les deux classes, qu'on suppose seules exister, sont représentées par
(*) En rappliquant au cas de A = 87, on aura l'occasion de vérifier que dans la quan-
.., ffv^ . 4^7^ 1.1'..
tue c H ^ , la partie decnnale commence par onze zéros.
7rV37 '^
(5r ) les formes
(i, o, A), (a, o, ^a); à la première correspond la valeur
d'où
et, tout à fait comme précédemment, on est conduit à l'expression
• £n désignant encore par a le nombre entier immédiatement supérieur
k e ^ , on aura la formule
a -4- io4 i6 '
qui sera applicable à partir de A = lo.
» Lies déterminants qui ne fournissent que deux classes dans l'ordre primitif, seront
. —6, — lo, — 18, — aa, —58, etc.,
si on les joint aux: précédents, ainsi qu'à ceux dont il a déjà été question à propos du polynôme ^^ (x, A), on aura autant de cas dans lesquels
e^^^ approche d'autant plus d'un nombre entier que A sera plus grand;
ainsi^ par exemple, dans la quantité é"^ la partie décimale commence par sept chiffres égaux à 9.
B Voici les équations auxquelles on parvient, comme on va le voir, par la méthode algébrique générale, savoir :
(^ + ,)4-. y, a*. x{x-iY=o A= 6,
(a:-f-i)*— 5*. a'. a:(jc — i)*=o A =10,
(jc.+ i)*— 7*. a*. a:{x — iY=iO A =18,
(a:-hi)*— II*. 3*.a*jr(jc— i)*=o A=aa.
(Sa)
On remarquera que le coefficient numérique — a est toujours un carré divisible par A, sauf le cas du déterminant — i8, le seul qui, n'étant pas le double d'un nombre premier, ne renferme cependant que deux classes dansj'ordre primitif. Mais lorsqu'on a A^ i mod 4» c'est la quantité a + 16 qui contient A en facteur lorsqu'il est un nombre premier, et le quotient • se présente toujours comme égal à un carré. La même circon-
stance se remarque dans les équations
à l'égard de la quantité 4 a -^ ^7 (*), qui est également le produit de A par un carré, lorsque A est un nombre premier.
» X. l.e calcul des polynômes F| (x, A) et Fj (jc, A) repose, comme il a été dit, sur la formation de l'équation qui résulte du système
e(i^, «) = o, tt* = ^J,
ou
en faisant u^=^x (*^). Les quantités A^ qui répondent dans les deux cas aux valeurs de n pour lesquelles on possède l'équation modulaire, sont indiquées dans ce tableau :
' ' ' ' M^»^^ Il ^1 1 ■ Pi ■ ,1 .^^^■^^^^
(•) L'identité
4[(x»--ar-M)^-f-a(.r»— a:)»] = (2Jr>— 3x»— 3jc -j- 2)'4- (4a 4- a7)(j:'— ^)'
en montre l'ori^çine, et donne en même temps une résolution facile des équations ^, [x, A) = o^ lorsqu'elles sont du 6*^ degré.
ITC
(**) Le système (p, tt) = o, p = - » «• = jr, donne aussi une équation en x dont le
tir
premier membre est le produit de facteurs qui sont tous de la forme F, (x, à) ou ^^{jc^ à). Le premier cas a Heu lorsque le nombre //, qui désigne Tordre de la transformation à laquelle se rapporte l'équation modulaire, est ^ i mod 4> €t alors A = /i — p', p étant impair. Si /î ^ — I mod 4, ce sont les facteurs F, (x, A) qui se présentent, A étant encore n — p', mais p devant être supposé pair.
(mod 4)*
A ^2 (mod 4).
» On y remarque que n= 11 conduit à trois déterminants^ 2 mod 4» auxquels correspondent seulement deux classes dans l'ordre primitif, le déterminant — 18 fournissant en outre une classe dérivée de (i, o, 2). Ce cas donnera donc les polynômes F, {Xy A) pour les valeurs A = 2, 6, 18, 22, et nous le choisirons comme exemple de la marche qu'on peut suivre dans ce genre de calcul.
D J'observe à cet effet qu'en disposant dans un ordre convenable les termes de l'équation donnée par M. Sohnke, on peut l'écrire :
«•a - u'^ + 44'^* ^' {^' - u*) -h i65 u* P* (P* - u*) 3aM'*i;«« -22w«ç/*((/»-f-tt»)-f-88w*p*-M32M^i>^ -
OU bien, en mettant en évidence le facteur v* — /<*,
i32tt*t^'— 88 wV
(i,* tt*) (p« 4. w« 4- 44 !<• po ^ j66 m*p* 4- 44 M» (;*)
32M'*t^**- 22w»t'»((^»-Hw')-f- 88w*i^*-h i32wV^— i32tt*i;*-88tt*t'»
-+- 22Wi^{l''-|- «•) — 32Wi; = O.
» Or en faisant «p = w, la relation
ou
u*if* -h u* H- i^* — 1=0,
donne
p* -1- M* = I — tv*,
i;' -4- tt* = i — 4 w* 4- w^,
de sorte qu'on peut immédiatement déduire de l'équation modulaire une relation contenant seulement w^ savoir :
yjî — 6w*-f- w^ [w* 4- 44 w'* + i6aw* -h 44w^^ -+- 1)
-4- low (tv**^4- I iw>*-f- a2fv* — aaw* — 1 1 w^ — i) = o.
Or, en faisant disparaître le radical on parvient à une équation réciproque en îv*, ce qui conduit à poser
W'-h —, = Zy
et on trouve ainsi :
(z^ — 8)(z*4-44z-+- i6o)«— ioo(z—2)(z^4- 12Z-4- 32)^ =
ou
» Maintenant nous observerons qu'en faisant vf = or, on a
» Ainsi l'expression •■- — — ^ dont il a été déjà parlé comme entrant essentiellement dans la composition des équations que nous voulons obtenir, se présente ici d'elle-même, et puisque
la quantité a sera liée à z par cette relation très-simple a= — (a* — 4 )*• H en résulte que l'équation en x est le produit des^facteurs suivants :
(jc-m)*- a*a?(jc-i), [(a:-f-I)*-3^2*x(a:-I)^]^
[(x-f-i)*- 7*.a*x(a:- i)»f et
(a:-M)*-ii^3\2*a:(x - i)%
le dernier qui répond à la valeur la plus élevée de A, étant le seul qui n'entre pas au carré, car (po 4- i)* — ^*a:{x — i)* = (jr* — 6a: -h i)*. Et comme ils sont écrits en suivant l'ordre des valeurs croissantes de la quantité Uj ils correspondent respectivement à A = a, 6, i8, niky puisque, abstraction faite du signe, a augmente avec A d'après la relation
i6a= — \e -hio4-4-.../.
» XI. Le polynôme ^j (jcr, A), dans le cas le plus simple où l'on a A = 7, s'obtient immédiatement par les équations fondamentales
U^ = rr » «• = I — JC,
en supposant (^ =: u, et supprimant dans le résultat le facteur x. On trouve
ainsi l'équation
i6jc*— ' 3ia:H-i6 = o.
Pour les valeurs suivantes de A, le calcul devient plus difficile, et c'est en recourant à des méthodes particulières, que le P. Joubert, dans un travaij
important sur le discriminant des équations en U = \/kk' et V = \j}X\ a réussi à obtenir ces polynômes pour A = 15, a3, 3f. Je me bornerai à donner l'idée de ces procédés et des méthodes variées qu'on peut suivre dans ces recherches en considérant le cas de A = 1 5.
9 Alors on a dans l'ordre improprement primitif, deux formes conduisant aux équations types
et si l'on fait pour un instant (4> i, 4) = o, ou a &>* -+- w -♦- 3 = o et I = ç*(w) cj^*(û,)), on trouvera très-aisément l'équation en Ç, en remarquant qu'on peut écrire
(56) d'où
et, par suite, en élevant à la puissance quatrième,
2^'*(tù) 1 + ip* (w)
Comme on a d'ailleurs [f*(<«>) -f- <|'*(w)]* = i -H aÇ*, on trouvera
ce qui donne
» Le facteur du second degré convient seul, et on en tire Téquation en x, en remarquant qu'on doit supposer x = ç'((k) -4- i) = "7/rrr"' ^® sorte qu'on aura
et, par suite,
» Cette équation, conformément à ce qu'on a dit en général, a pour coefficient de jc* une puissance de 2, et la forme particulière sous laquelle elle se présente permettra d'en déduire très-facilement la transformée, qui Correspond à l'ordre proprement primitif (*), savoir :
et de vérifier ainsi que dans cette transformée le coefficient de la puissance la plus élevée de x redevient égal à l'unité.
» XII. Nous possédons maintenant tous les éléments qui figurent dans le discriminant de l'équation modulaire du 11^ degré, qui sont les facteurs relatifs à Tordre improprement primitif de déterminant — 7, et à Tordre primitif de déterminant — a4. Le premier, comme on vient de le trouver, est 16a:'— 3i X -f- 16. Le second doit être tiré de Téquation
(jc-i-i)*— 3*. a* j:(x — i)* = o, (♦) Voyez S VII, p. 45.
(5?) qui correspond au déterminant ~ 6, en y remplaçant x par - + S etfai*
sant disparaître sjx par l'élévation au carré. On trouve ainsi l'expression
X®— 301960x^-4- 355o49aa:*H- 1979781117680:'+ i3oi76o8ar* -f- 197978a 17680:'-+- 35504911 J:^'— 301960x4- 1;
ce qui conduit au résultat déjà donné, et qu'il eût été bien difficile, comme on voit, de tirer algébriquement de l'équation modulaire. Nous allons indiquer, avant de passer à d'autres recherches, un moyen de le vérifier.
» XIII. En désignant par D le produit des carrés des différences des racines de l'équation modulaire 0((;, w) = o de degré w -t- i, lorsqu'on suppose n un nombre premier, faisons pour un instant
=\li-'f^i-
Cette expression sera non*seulement rationnelle et entière en w, puisque D est un carré parfait, mais les coefficients des diverses puissances de u seront eux-mêmes des nombres entiers. Or, en remplaçant ces puissances par leurs expressions sous forme de séries infinies en fonction de ç = e*'^", on parvient à un résultat dont la valeur, par rapport au module premier fi, s'obtient comme il suit.
» Faisons . •
= I — 7+ 2iy* — 39' + 49* — 69*^ -h ..., et par conséquent
« = ?(«) = Va Vç/Cî)
on aura cette congruence
dans laquelle le coefficient de la puissance la moins élevée de 9 a été con- H. 9
servée sans addition ni suppression de multiples de n^ ce qui permet de déterminer le facteur numérique qui doit être joint aux divers polynômes en u, que maintenant nous connaissons dans les cas de ra = 3, 5, 7, 11, a6n d'obtenir précisément la valeur de (D. Ce facteur, comme on voit, est toujours une puissance de 2 ; ainsi dans le cas de w = 1 1 , on aura
(D = a»«tt«(i-w'^)^(i6-3itt«4- i6w'«) (i- 301960 a» -+-.•. )•
On pourrait aussi présenter le second membre de la congruence précédente sous cette autre forme
n'— 1 rt—i
mais c'est la première qu'il convient d'employer pour véri6er, comme nous l'avons annoncé, le discriminant de l'équation modulaire du la* degré. Je remarque à cet effet que le polynôme i — 301960^^ -\- 3556492 w** -f- etc. se réduit suivant le module 1 1 à cette expression simple
