SUR LA FORME ADJOINTE

1. Nous allons, dans ce qui suit, donner une démonstration simple de quelques propriétés de la fonction adjointe d'une forme quadratique donnée; pour plus de simplicité, nous considérerons le cas d'une forme du second degré à trois variables.

Soit

f{x^y^ z)= Xx^ -h X' y^ -\- A." z^ ~\- '2B yz -^ ih' zx ->r iW xy , Si Ton pose

(i) I Wx-{-K'y-\-Bz = (^,

( B'x-{-By -h-A'z = w,

on aura, en vertu du théorème d'Euler,

ux -h vy-^ wz =f(x, y, z).

Ces quatre équations nous donnent immédiatement

Il v> w f

OU bien

en posant

Si l'on développe le second membre de régalité précédente, il viendra une expression de la forme

= aw*-4- aV*-H a"w*+ ibvw -\- ib'uw-\- ib'uv.

Nous désignerons par F(w, v^ w) ce polynôme du second degré; c'est la forme adjointe de f(x^y^z). Ses coefficients sont les dérivées et demî-dérivées de A prises par rapport à A, A', A", B, B', B^'.

Si l'on résout les équations (i) par rapporta j:,j^, z, on obtient le système

£ix = au -\- 0"^ ~\-b'w, tiy = b" u ->r a' V -^ bw, tiZ = b'u-^bv -\-a''w.

Les coefficients a, a', a", i, i', b" sont précisément ceux de la fonction adjointe, comme on le vérifie encore en multipliant ces équations par w, t^, w et en ajoutant membre à membre.

/ 2. Si l'on opère maintenant sur F (a, i^, çv), comme nous l'avons fait sur /(.r, y, z), c'est-à-dire si l'on forme la fonction adjointe de F(fi, t^, ^v), on posera

d'abord

au-{- b''v -\-b' w — $,

b" u-\-a'v -^ bw — Y) ,

b' u-^ bv -^a''w = Ç ;

on a aussi

il en résulte

et, si l'on désigne par 8 le déterminant

on aura

b" a' b fi

Soit 0($,Yi,Q la fonction du second membre: nous

aurons

Mais les équations (3), comparées aux équations (2), nous montrent que

on aura donc

Si Ton élimine F(w, 1^, ^v), il viendra

A^/C^ï^J '5)=-^**(^,rî-)

( 6 ) et, comme 2 est le déterminant adjoint de A, on aura

8 = A», par suite

La forme adjointe de ¥{u^v^w) est donc la forme primitive /(x,jK, s) dont tous les coefficients ont été multipliés par A.

Les coefficients de la fonction <E> sont formés avec les quantités a, a\ n'\ h, b\ b^\ comme ceux de F sont formés avec A, A', A'', B, B', B"^ par suite, on aura, en vertu de la relation ^(x, k, z)=z Ay(a:,^, z)^

aa^—b^- =AA,

aa'—b'i =A"A, ab — b'b''=B\

a'b'—b''b = B'\, a"b"—bb' = B'A.

Ce sont les relations de Gauss^ elles nous montrent que, si Tinvariant de la fonction f{x^y^ z) est nul, la foi'me adjointe F(w, ^, w) est un carré parfait.