SUR LÉLIMIN4TI0N PAR LA MÉTHODE DEULER

1. On sait que, si F(j:, j^) et G(x, y) sont deux polynômes homogènes en x et j^, de degrés respectifs m et p^ si A(x,^) est le plus grand commun diviseur de ces deux polynômes, A(x,j^) est de la fornie

A(ar, r ) = U G{x, y) 4- V F(ar, y\ U et V étant des polynômes entiers et homogènes en x

On le voit immédiatement en observant que les restes successifs obtenus dans les opérations qui conduisent au plus grand commun diviseur A sont tous de cette forme.

Cela posé, on démontre aisément que, si Y{x^j) divise un produit de deux polynômes G (or, j^) X H (a:, j^) et s'il est premier avec Ci{x,j)^ il divise H^x^j) \ les polynômes F, G et H sont homogènes.

En effet, les deux polynômes Y{x^y) et Çj{x^j) étant premiers entre eux, on pourra trouver deux polynômes U et V, tels que

par suite,

U 0(07, y) xYi{x,y)-^\ Y{x, y) x U(x, y) = lî(x,'y). F(x^j') divise, par hypothèse, le produit

G(Xyy)xH(x,y);

(8) il divise donc les deux parties du premier membre et par suite il divise H(j?, jr).

Cette proposition va nous permettre de démontrer le théorème d'Euler, à savoir :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux polynômes F(a:, j^), G(j:, j^) homogènes aient un diviseur commun en x etj^, c est qu'il existe deux polynômes U et V de degrés respectivement moindres que F et G, tels que l'on ait identiquement

UG(:r,^)-hVF(a7,^) = o.

La condition est nécessaire \ car, si F(j:, y) et G(a:,j^) ont un diviseur commun 6, on aura

et, par suite,

Fi (^, y) 0(07, y) - Gi{x, y) ¥{x, j^) = o,

ce quî fait voir que la condition est nécessaire.

Elle est suffisante ; car, si elle est remplie, ou aura

Si V{x^y) et G(x, j) étaient premiers entre eux, V{x^y) divisant le produit U (j{x^y) et étant premier avec (j{x^y) devrait diviser U qui est de degré inférieur à F-, les polynômes Y{x^ y) et (j{x^y) ne pouvant être premiers entre eux admettent un plus grand C(mimun diviseur de degré supérieur à zéio.

On peut montrer de plus que, si U et V sont respectivement de degrés ni — \ et p — X, les fonctions F{x^y)^ G{x^y) admettent un plus grand commun diviseur qui est de degré ). au moins.

Supposons, en effet, que le facteur commun à F(jC, 7 )

(9) et à G(x, j)^) soit de degré )/ plus petit que 1,

F(^,y) = eF,(:r,jK),

Fi{x^y) sera de degré m — )/ ^ (i|(j:,j)^), de degré p — )/, et Ton aura

U et V étani de degrés respectivemeût inférieurs à F^ et à Gi , les polynômes F^ et Gt ne sauraient être premiers entre eux ^ il existe donc un facteur commun à F(x,j) et à G{x^j) de degré au moins égal à X.

2. Nous allons étudier maintenant quelques propriétés des polynômes U et V qui nous seront utiles dans la suite.

1. Si les poljnômes F(x,j^), GÇx^j) n^ admettent pour plus grand commun diviseur qu' une fonction du premier degré ^x — a^, les polynômes U et V, qui fournissent l' identité d^Euler, sont premiers entre eux, \] et Y étant de degrés m — i^ p — i .

En effet, si U et V admettaient un facteur commun O, on aurait

v = evi,

et, par suite, l'identité

devenant

nous montre que F(x, j) et G(x, r ) admettent un plus grand commun diviseur de degré supérieur au premier, ce qui est contraire à riiypotlièse faite sur F et G.

II. Si les deux polynômes ¥{x, j)^ G{x^j) n 'admettent pour plus grand commun dwiscur qu'une fonction du premier degré de Informe ^x — oj^, il n ^existe quUin seul système de polynômes \] et\ satisfaisant à r identité d'Euler, U etY étant ^ comme précédemment ^ de degrés m — i et p — i .

Supposons, en eflel, qu'il existe deux systèmes U et V, Vi et Vi donnant les identités

on en tirera

(m,-YVOG(x,y) = o ou

UVi — VUi=o.

Les polynômes U et V, d'après le théorème précédent,

sont premiers entre eux^ par suite, U doit diviser Ui et

l'on a

U = XUi; d*où

v = xv„

X étant une constante: le système (U<,Vi) est donc identique au système (U, V).

III. S'il existe plus d'un système de polynômes U et V de degrés m — i et p — i satisfaisant à l'identité d' Euler, les polynômes Y[x^y)y Çj{x^y) admettent un plus grand commun diviseur de degré supérieur à un.

Cela résulte immédiatement du théorème précédent, car U et V ne sauraient dans ce cas être premiers entre eux, à cause de l'égalité

UVi-VUi = o,

qui nous ferait voir que les deux systèmes (U, \ ), (U|, V,) rentrent dans un seul. U et \ admettant un

plus grand coinmuu diviseur Sy qui est au moins du premier degré, ou a

v = eV5,

et l'identité

nous montre que F(x^j) et G(j:, j^) admettent nu plus grand commun diviseur de degré supérieur à un.

IV. S'il n* existe qu'un seul système de polynômes U et V de degrés respectifs m — i etp — i , qui donnent V identité d'Euler, les polynômes F{x,y)^ Cj{XjJ) n* admettent qu'un facteur linéaire commun.

Cette proposition est une conséquence immédiate des précédentes ^ car, si les polynômes F (a:, j^), G{x^y) admettaient un plus grand commun diviseur de degré X, X étant plus grand que un, on aurait

G(x,y) = eG,{x,y), et, par suite,

Fi(^, y) G(x, y) — Gi(:r, y) ¥{x, y) = o.

En multipliant les deux membres par un polynôme arbitraire ^ de degré X — i, on obtiendrait une infinité de fonctions de degrés m — i et y^ — i , à savoir

^Fi{x,y) et ^Gi(x,y),

qui satisferaient à l'identité d'Euler,ce qui est contraire à l'hypothèse.

3. Cherchons maintenant en fonction des coefficients de F(x^y) et de G(x^y) la condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes F(x^y) et G(x, j) aient un facteur commun.

Il faudra, d'après ce qui précède, qu'en posant

^m-iy

Pp-ir'^-S

on ait identiquement, pour des valeurs convenables des coefficients a et p,

Si

F(x,y) = AqX^^ -h Aix"^-^y G{Xf y) = Bqxp -h BixP-^y

^py"*'^

en égalant à zéro les coefficients de x^'^^P * , x^^'^P ^^j^ . . . , j m+p-i^ Qn aura les équations

BoOto Bi olq ■+■

Bo

-t-Ao ai -H Al

Ao

Ces équations, au nombre de m-^- p^ sont linéaires et homogènes par rapport aux m -h p inconnues

ao, a^, ..., a,;i^ , Poj Po •••î P/?< •

Elles doivent admettre pour ces quantités des valeurs qui ne sont pas toutes nulles ; il faut par suite que le déterminant d'ordre m -\- p de leurs coefficients soit égal à zéro. Soit A ce déterminant.

Bo

Bo

Ao .

A = O est la condition nécessaire pour que les deux fonctions F(Xfj)^ G(a:,j^) aient un facteur commun au moins du premier degré.

Je vais démontrer que cette condition est dans tous les cas suffisante.

( «3 ) Supposons que A = o et que Tun des déterminanls d'ordre m-hp — i, mineur de A, ne soît pas nul. On pourra donner à Tune des inconnues a©, ai, ...,a;„i, P05 Piî •••î p/><une valeur arbitrai re et choisir w 4-/? — i des équations, de telle sorte que le déterminant des inconnues qui y figurent ne soit pas nul ; ce sera le mineur que nous avons supposé différent de zéro ; les équations déterminent pour les m-^p — i inconnues qui y figurent des valeurs de la forme

ao = Xoa, po = P-o»»

où a désigne la valeur de l'inconnue choisie arbitrairement et)vo,)vi, ..., y^m-it t«-09 1^1 î •••> l^p-i des quantités parfaitement déterminées qui ne sont pas toutes nulles, Tune d'elles étant égale à l'unité.

Les fonctions U et V sont donc

Y = oLiiioXP-^ ■+■ \LixP-^ y -+■ ... -Jriip-iyP-i);

abstraction faite du facteur a, elles donnent le système unique de fonctions de degrés m — i et p — i satisfaisant à l'identité

UG(ar,^)-f-VF(^,j.) = o.

La solution précédente étant la plus générale pour les quantités ao, ai, ...,a;„i, PoiPo •••5 Pm-i 5 il s'ensuit que, si un mineur d'ordre m~^p — i de A est différent de zéro, il n'existe qu'un seul système de polynômes d'ordre m — I el p — I donnantl'identitéd'Eulêr, et, par suite, d'après les théorèmes précédents, les deux fonctions F(x,j^) et Cj{x^j) admettent pour plus grand commun diviseur une fonction du j)remier degré seulement.

Ce qui précède montre évidemment que les fonctions U et V sont elïectivement de degrés m — i et /? — i ; car Xo et [jLo ne sauraient être nuls, les polynômes U et V s'abaisseraient aux degrés m — 2 et ^ — 2 au moins, et, en les multipliant par un polynôme arbitraire du premier degré, on obtiendrait une inGnilé de fonctions U et V de degrés m — i etp — i qui satisferaient à Tidentité d'Euler, ce qui n'est pas possible d'après ce qui précède.

On voit donc que, si A = o et si un mineur d^ ordre m-^p — I rfe A est différent de zéro, les deux fonctions F(.r, j) et Gf{x^j) admettent pour plus grand commun diviseur une fonction qui nest que du premier degré.

Si tous les déterminants d'ordre m-i-p — 1, mineurs de A, sont nuls, et si un déterminant d'ordre m-\-p — 2, mineur de A, n'est pas nul, la solution la plus générale du système des équations en ao,ai, ..., ^o^^i ••• 6st de la forme

' ao = Xoa-i-X'oa', Po = |^o a -^ ^ a',

ai = Xia-hX'ia', Pi = jjiia -+- {Ji'i a',

a/n-i = X/«-i a H- X;^i a': (ip i = [ip, a -+- {jip i a',

où a et a' sont des arbitraires, )^oi •••? ^si? •••» [J^-oj •••> t*-©? ••• des quantités parfaitement déterminées, qui ne sont pas toutes nulles.

Dans ce cas, les fonctions U et V prennent la forme

U = aUi-f-a'U'i, V =:aV, -+-a'V',,

Ui, Uî, \ I, \ 1 étant des polynômes bien déterminés. Il existe, dans ce cas, une infinité de fonctions U et V

( i5 ) qui donnent ridentité d'Euler; par suite, d'après ce qui précède, F(x^y) et G(j:, y) ont un plus grand commun diviseur, qui est au moins du deuxième degré.

On voit que U et V sont en nombre infini; car U| et \\ ne peuvent pas être identiquement nuls à la fois, pas plus que Uj et Vj, puisque, dans l'expression de ao, ai , . . . , Poî P< ) • • • î '^ï^ coefficient de a est égal à l'unité, ainsi qu'un coefficient de et!.

On voit donc que, si A = o et si tous les mineurs 4"* ordre m-\- p — i de A sontnuls^ les fonctions ¥ (x^j), G(^, y) admettent un facteur commun gui est au moins du second degré.

11 en serait de même si l'ordre du premier des mineurs qui ne s'annule pas s'abaissait au-dessous de l'ordre m-\- p — 2.

(-7. \ m I-H-) QUAND m AUGMENTE