Chapitre X

Le Théorème d’Existence.

Nombres Primaires et Hyperprimaires.

Soit k un corps fini de nombres algébriques contenant les racines nèmes. de l’unité, et soit dans & p un idéal premier fini ou infini.

1) Un nombre & + 0 de k est dit hyperprimaire pour p quand bp est complètement décomposé dans 4(%/æ).

2) Un nombre & + 0 de k est dit primaire pour p quand p est nonramifié dans #(#/æ). |

Si p est un idéal premier infini, les deux notions coincident. Remarquons d’ailleurs que le cas ne se présente que pour n = 2, car sinon k et tous ses conjugués sont imaginaires. Si n = 2, soit k® le conjugué de k auquel appartient p. La condition nécessaire et suffisante pour que æ soit hyperprimaire (ou primaire) pour p est que le conjugué a«°? de æ dans k® soit positif. Donc: si p est un idéal premier infini, les nombres hyperprimaires pour pb forment, dans le groupe des nombres + 0 de k un sous-groupe d'indice 2.

Supposons maintenant p fini, et soit k, le corps des nombres p-adiques de %. La condition nécessaire et suffisante pour qu’un nombre æ de k soit hyperprimaire pour p est que k,(#/æ) = k, (car le groupe de décomposition de p dans l’extension #({//æ) de k se réduit à 1), donc que æ soit une puissance »-ème. d’un nombre de k,. Mais on a vu p. 418 qu’il existe une puissance p* de p telle que tout nombre de 4 = 1 (mod. p*) soit hyperprimaire. Le nombre y étant choisi minimum, l'idéal p* s’appelle module d'hyperprimarité pour p. æ désignant les nombres + 0 de Æ, & les nombres hyperprimaires pour p, À les nombres + 0 de k,, on a

(a) =AÀA: 40)

Nous allons calculer cet indice au moyen du lemme d’Herbrand, appliqué avec les conventions suivantes (voir pour les notations l'énoncé du lemme de Herbrand) : |

G : groupe des À : g groupe des nombres B = 1 (mod. p“) à étant un exposant que nous déterminerons ;

T, automorphisme défini par A—> 4"; T automophisme défini par A— 1.

Le groupe 7, est composé des racines n-èmes. de l'unité. Donc 7; est d'ordre n fini. Ona7: = G, done ([g, 2] : Dig) = (g: Tig). Cet indicé

+ C. Cheralley.

est fini, car on peut choisir un exposant a” tel que si Z° est un

nombre = 1 (mod. p”) on ait L Log [° = 0 (mod*p°), done 7 = B", done n

Tg contient le groupe des nombres = 1 (mod. p”). Ceci posé, le lemme d'Herbrand donne

nm __ (eg rl)

(A: 4) (9: T9) On peut choisir a assez grand pour que 1) g ne contienne aueune racine nÈème. de l'unité + 1,2) le groupe g soit isomorphe au groupe additif des entiers Z° de k, qui sont = @ (mod* p“}, l’isomorphie étant établie par ls formule l°— Log R Ceei fait, dans l’isomorphie précédente le groupe Te correspond au groupe additif des n7, et on a

(4: 4) = R(T :nT).

* Or seit Æ un nombre de E, tel que (2/7) = bp, et désignons par 4 les enüers de E. Ona

(l':aD) = (14: n°4) = (4: n4).

Ce nombre est par définition la norme de l'idéal (n) de £. Si pÂr est la contribution de p à (»), on a

(@ : ex) = (4: 47) = aMp), le symbole N désignant la norme absolue, c'est-à-dire par rapport au corps des nombres rationnels.

On ne connait pas dans le eas le plus général de condition nécessaire et suffisante pour que æ soit primaire pour p. Mais:

1) Pour que & soû primaire ponr p, il est nécessaire que l'ordre de æ pour p soû multiple de n.

En eflt, soit $ un facteur premier de p dans Ka). Si% figure dans #'æ avec l’exposant à, et si p n’est pas ramifé, p figure dans & avee l'exposant mer. ,

2) Sip ne divise pas n, la condition précédente est suffisante.

En efkt, supposons la réalisée. On peut, en multipliant æ par la puissance n-ème. d'un nombre de Æ, ce qui ne change pas ÆK%”æ), le transformer en un nombre 8 entier et non divisible par p. La différente relative du nombre 3, racine de l'équation x" — 8 = 0 est ng"-! qui n'est pas divisible par p. Done p n'est pas ramifié ©

SS) La différente relative de 5 est le produit de (#3 — a%’3 ), a parcourant les opérations + 1 du groupe de Galois. Si le groupe d'inertie de p était + 1, © étant une opération de ce groupe et 5 un entier, #3 — o%'3 serait divisible par p.

Sur la théorie du corps de classes. 467 Réduction.

Soit un corps fini de nombres algébriques. Donnons nous dans # un groupe de congruence Æ quelconque définissable suivant un module m. Le problème du théorème d'existence est de démontrer qu’il existe un corps de classes X sur k pour H.

Désignons par n le plus petit exposant positif tel que la puissance nème. de tout idéal de 4 premier à m soit dans Æ, et par £ une racine primitive n-ème. de l'unité. Soit H le groupe des idéaux premiers à m de k(£) dont la norme par rapport à k est dans A. La puissance n-ème. de

tout ideal de k(£) premier à m est dans À. Supposons maintenant qu'il

existe un corps de classes sur Æ(£) pour À, soit K. Nous nous proposons de démontrer qu’il existe aussi un corps de classes sur k pour le groupe H. Pour cela, nous allons prouver le lemme suivant, analogue à celui dont nous nous sommes servis dans la théorie du corps de classes local (voir p. 454):

Soient k un corps fini de nombres algébriques, K un sur-corps relativement abélien de k corps de classes sur k pour le groupe H. Soient q un groupe abélien d’automorphismes de k, ét k* le corps des nombres invariants par les opérations tr de g. Si H contient tous les idéaux a”, à étant un idéal de k premier à un module de définition m de H, K est abélien par rapport à k*.

En effet, tout d’abord FH est invariant par les opérations 7, donc, en vertu du théorème d’unicité (p. 448) K coincide avec ses conjugués relatifs par rapport à &. On peut donc considérer les r comme des automorphismes de K par rapport à k Soit « une opération quelconque du groupe de Galois de K par rapport à k, et soit a un idéal de Æ tel que

Donc a est premier au discriminant relatif de K par rapport à &. Ilen est de même de ra. Montrons que

Æ = TOT Ta

Il suffit de démontrer la formule dans le cas où a est un idéal premier p. Mais alors o est défini par la condition que pour tout entier A de Kon ait

oA = AN (mod* bp), d’où cot=!T A = (rA)Nr (mod* rh).

468 C. Chevalley.

ce qui prouve que = = r( Er.

TP p

Ceci posé, de la condition a" C Æ, on déduit

K\(K ( a ) } d’où rot”! = 4: chaque r est permutable avec chaque 9, ce qui démontre le lamme.

Revenons aux notations du début de notre paragraphe. 7 étant un automorphisme de X(£) par rapport à k, a un idéal de X(£) premier à m, I contient a-", car a" est de norme relative 1 par rapportà k. Donc K est un sur-corps relativement abélien de k, corps de classes sur À pour un groupe H’. H’est évidemment contenu dans un groupe égal à H, car les normes relatives d’idéaux de K’ premiers à m sont dans Æ, et on

a vu (p. 447) que dans ces conditions K contient un sous-corps qui est corps de classes sur k pour le groupe Æ.

Théorème d’Existence.

La réduction du paragraphe II nous a montré qu’il suffit, pour démontrer le théorème d’existence, de démontrer le théorème suivant :

k étant un corps de nombres algébriques contenant les racines nèmes. de l’unité ;

H étant dans k un groupe de congruence définissable (mod. m) et tel que la puissance n-ème. de tout idéal de # premier à m soit dans 77; il existe un corps de classes sur X pour le groupe H.

Pour le démontrer, nous construirons des groupes Æ particuliers pour lesquels on pourra affirmer l'existence d’un corps de classes, et qui seront assez généraux pour que tout groupe Æ donné contienne l’un d'eux.”

Définition. Deux modules m, ny de # sont dits complémentaires quand

1) Ils sont premiers entre eux,

2) Pour tout idéal premier p divisant nu (ou nv), m, (ou nm) est aussi divisible par le module d’hyperprimarité de p.

3) Tout idéal premier divisant n et tout idéal premier infini divise l’un d'eux.

39) Cette manière de faire est dûe à M. Artin; on peut aussi, comme on était obligé de le faire dans la théorie de M. Tukagi, compter le nombre des sous-groupes d'indice n à quotient cyclique et le nombre des sur-corps 164 &) satisfaisant à certaines conditions. Les calculs sont équivalents, mais la méthode est moins élégante.

Etant donnés deux modules complémentaires nu, nm nous appellelOnS groupes el corps associés à ces modules les groupes et corps ainsi définis :

1) le groupe Æ est le groupe des idéaux de la forme fa"(&), où fe désigne les idéaux dont tous les facteurs premiers divisent ne, @ désigne les idéaux premiers à nu, B les nombres = 1 (mod. nu),

2) Le corps X est le corps composé de tous les corps Æ(/w), les &w, étant les nombres de k jouissant des propriétés suivantes :

w, est primaire pour tout idéal premier ne divisant pas nu ; w, est premier à m et hyperprimaire pour tout idèal premier divisant nv,

3) les définitions de H,, K; se déduisent de celles de 77, K, en permutant les indices 1 et 2.

Remarquons que les seuls idéaux premiers qui peuvent être raiifiés dans A; sont ceux qui divisent nm. De plus, tout nombre f est, quel que soit N reste normique (mod. p;") de tout sous-corps relativement cyclique de X, (B est en effet une puissance n-ième exacte dans km). Donc m, est divisible par les p-conducteurs (voir p. 441) de ces souscorps, qui sont donc corps de classes pour des groupes définissables (mod. nn). Donc K est aussi corps de classes pour un groupe définissable (mod. nm). De plus dans le groupe de Galois de X; par rapport à k, la puissance n-ème. de toute opération est 1. Donc K est corps de classes pour un groupe qui contient le groupe a". Enfin, les facteurs premiers finis de m2 sont complètement décomposés dans X;,, et appartiennent par suite au groupe pour lequel X, est corps de classes. Ce groupe contient done Æ4. Nous allons prouver que c’est 4. A cet effet, nous allons calculer (K : k).

Transformons d’abord la forme des conditions auxquelles sont assujetis les w,. Désignant par a; (à = 1, 2) les nombres de # premiers à nt; la seconde condition donne d’abord w, — æ"f: (en effet, si q est diviseur de nt, w, est puissance n-ième dans k,, est par suite congru à une puissance n-ème. suivant toute puissance de q, en particulier suivant la contribution de q à nu). Si cette condition est réalisée, w, est hyperprimaire pour tout idéal premier divisant m,, et il ne reste plus qu’à satisfaire à la première condition pour les idéaux premiers ne divisant ni nu, ni ms. Mais ces idéaux premiers sont finis et ne divisent pas n : la condition de primarité est donc connue pour ces idéaux premiers et donne (@) = fiæ*. Donc les nombres w, sont ceux qui satisfont aux deux conditions

©, = ax" Be, (or) = far”.

470 C. Chevalley.

Or, « désignant les nombres + 0 de k (Ki: k) = (ose : a") = (os : Lan, à"]) = (en : æ").

Introduisons les nombres @ assujetis à la seule condition (9) = fia:" ; tout ©, est un 6, et on a, € désignant les unités de #,

(dia) (8: œ'e\ ae : œ”)

(eo : œ") =

On a (1) (eæ") = (e: fe, æ"]) = (e:e") = n°1,

où r désigne le nombre des unités fondamentales de k ; la formule résulte du fait que tout < se met, et d’une seule manière, sous la forme

£ = Eee"? eu. o% res, 0 2 (47 <a ñn, £ étant une racine n-ème. de l’unité. Ona

» he = : (@")) = (fiao" : a" )(as" : (œ2)") (save) = (9): (ar) = (RARES

Soit d;(i:= 1,2) le nombre des facteurs premiers finis de my Si,

pars » Pa, Sont ceux de mt, un idéal f,a;" est de la forme p,“p."2....…. Paie", OS n,: d'où (2) ! (f102" : a") = np",

La correspondance a; —> a" définit un isomorphisme du groupe a et du groupe a" (car la puissance n-ème. d’un idéal + 1 est un idéal + 1). Dans cet isomorphisme, les groupes (2), (a:") se correspondent. Donc

t (az: (@)") = (a: (a) = h, h désignant le nombre des classes de 4. Les formules (1), (2), (3) mont-

rent que tous les indices écrits sont finis, ce qui justifie nos calculs. Nous avons encore à transformer (4 : w,) et (fi: (0). Ona

(8: a) = (8: [0, ax" B2]) = (0a"B2 : &r"B:) = (082: @" Be) = (œ : œ"B), (æz : 08) Or toute unité € est un nombre #. Donc (@ : 082) = ((æ2) : (4/82).

D'autre part (fa : (0)) = (fias"(8:) : (08@:)). En effet le second membre s'écrit (fias": [(08), fias]). Or le groupe [(4&), fia"] est précisément le groupe (0). En eflot, si fias" = (48), fax" est principal et par suite est un (0). Réciproquement tout 8 est un fia” et un (88) avec B2 = 1 ; ce qui montre l'égalité des deux indices. Orona

(@ : œ") = p'tit = ((œz) : (9/:)) st | (as"(8e) : (082)). (az : a") = prera (2: (082) 1 = p'ti+a (@ : f102"(/82)) = nirap, (faz"(B2) : (0Bz)) (aæ: >" fB2) (@» ‘ a" f2) (æ» è œ>" 8)’

ou est l’indice de H.

Par un raisonnement copié mot pour mot sur celui de la page 440, en remplaçant les normes par les puissances n-èmes., on verra que (az : 8) est égal au produit des indices (7,:74"à;), où 7; représente les nombres de k premiers à un facteur premier q, de m, à, les nombres qui sont congrus à 1 suivant la contribution de q; à mm. Mais nous avons caleulé p. 466 cet indice qui vaut nNV(q£Æa) si q; est fini, et 2 si qestinfini. Donc, x désignant le nombre des facteurs premiers infinis de nt, on a

(œr : Be) = Tant sl N(qËai).

On a donc (en : @") = HD INR De même, en permutant les indices 1, 2, on a (@2 : œ") = NE Et Jeu

Or tout facteur premier de n figure soit parmi les p;, soit parmi les q:. Multiplions les deux formules membre à membre : il vient

(K : k\K: : k) — honcr+92 +28 N(n).

Distinguons deux cas: 1) n + 2, k et tous ses conjugués sont imaginaires, % = 2% = 0, et le degré de k est 2(r + 1) donc Mn) = n"*?. 2) n—=2 Soientr, le nombre des conjugués réels de k, et 2r, le nombre des conjugués imaginaires. Ona r + 1= +1, +=", Mn) = nt"

Dans tous les cas, on a

(K : kX KR: k) = lnho.

Or le groupe de Takagi associé (mod. m) à K; dans k contient A et est d'indice (K:k). Donc h =(K;:k) et de même % Z (K:k). De la formule précédente résulte que ces inégalités sont des égalités et par suite que K, est corps de classes sur k pour le groupe Æ.

Ceci posé, soit A un groupe de congruence quelconque satisfaisant aux conditions énoncées au début de ce paragraphe. Soit f le conducteur de A: et donnons nous un idéal premier quelconque, q, appartenant à H (s’il est fini), ou, s’il est infini, ne divisant pas f. On peut former deux modules complémentaires nn, m tels que a) m soit divisible par f, b) nm

soit divisible par q et ne soit divisible que par des idéaux premiers finis contenus dans Æ. En effet q ne divise certainement par mm: on peut prendre m2 = q”, zétant un entier convenable. Soient H;, H les groupes associés à ces deux modules complémentaires. Je dis que Æ est contenu dans H. En effet, tout idéal (8) est contenu dans H, puisque Æ est définissable (mod. f) et à fortiori (mod. m); tout idéal a” est dans H, à cause des conditions imposées à Æ7 au début. Or il y a un corps de classes K sur k pour Hi, donc aussi un corps de classes X pour H (voir p. 447). De plus q se décompose totalement dans K,, donc aussi dans K, résultat qui sera utilisé tout à l'heure.

Nous avons donc démontré le théorème d’existence :

k étant un corps fini de nombres algébriques, H un groupe de congruence dans k, il existe un sur-corps relativement abélien K corps de classes sur E pour le groupe H.

Nous allons maintenant démontrer le

Théorème du Conducteur :

K étant corps de classes sur k pour le groupe H, les idéaux premiers finis ou infinis divisant le conducteur f de H sont ceux qui sont ramifiés dans K. En effet on a vu (p. 441) que H possède un module de définition qui n’est composé que d’idéaux premiers ramifiés dans X. Le conducteur étant le p.g.c.d. des modules de définition il suffit de prouver que tout idéal premier q ramifié dans K divise nécessairement ce conducteur.

1) 1”cas. Kest cyclique de degré l-premier par rapport à k; supposons que q soit ramifié et ne divise pas f. Supposons d’abord q fini. Soit £ une racine primitive Jième de l'unité, et soit Æ le groupe des idéaux premiers à f de &(£) dont la norme par rapport à Æ tombe dans A. On a vu que Kk(£) est corps de classes sur Æ(£) pour le groupe 7 (voir p. 448). Soit q un facteur premier de q dans Æ(f). Je dis que à est ramifié dans Kk(£). En effet q est la puissance ième d’un idéal de X, donc l’exposant relatif par rapport à k d’un facteur premier de q dans XK(£) est multiple de !. Mais (k(£):#k) divisant 1-1, l’exposant relatif de q est premier à {, et il faut par suite que l’exposant relatif par rapport à k(f) d’un facteur premier de q soit divisible par {. Or il existe un module

m tel que le groupe des idéaux premiers à m de Z7 soit le groupe de Takagi associé (mod. m) à Xk(£) dans Æ(£). Soit Q le facteur premier de q dans XK(£). Choisissons un idéal X premier à met congru à © (mod. f): On a

À = Nxnce, xÂU) (mod. f).

Le second membre est dans 77; /T étant définissable (mod. f), q est aussi

dans Æ, ce qui nous amène à une contradiction, car nous avons vu que

q est nécessairement complètement décomposé dans Kk(£).

Si maintenant q est infini, on a { = 2; car si { + 2, q ne peut être ramifié dans K. Or si {= 2, on a vu (p. 471) que, q ne divisant pas f est nécessairement complètement décomposé dans XK, d'où la contradiction.

2) Cas général. Supposons le théorème démontré pour toutes les extensions abéliennes de degré relatif < n, et soit X corps de classes sur k pour un groupe H de conducteur f, avec (K:k)= n. K contient un souscorps K; de degré relatif premier L par rapport à &. Soit q un idéal premier de k ramifié dans X. Si q est ramifié dans K3, il divise le conducteur du groupe de Artin associé à K; dans k, donc à fortiori celui de H.. Sinon, soit q un facteur premier de q dans K. q est ramifié dans K, done divise le conducteur du groupe de Artin associé à ÆX dans K, conducteur qui divise lui-même celui de H, ce qui achève la démonstration.

Récapitulation des Théorèmes de la Théorie du Corps de Classes.

Résumons l’ensemble des résultats auxquels nous sommes arrivés :

k désignant un corps fini quelconque de nombres algébriques,

1) Æ étant un sur-corps relativement abélien de k, le groupe de Artin } associé à K dans k est un groupe de congruence, ayant pour conducteur f un module qui ne contient que des idéaux premiers ramifiés dans K, mais qui les contient tous.

2) A désignant le groupe des idéaux de # premiers à f, 4/H est isomorphe au groupe de Galois de K par rapport à k, la correspondance étant définie par a -= © si

3) bp étant un idéal premier fini de k, le corps d'inertie de p est corps de classes pour le groupe HSfjf, où f, désigne la participation de pàf. Siyest la plus petite puissance de bp contenue dans ce groupe, bp se décompose en idéaux premiers de degré relatif f. Ce théorème n’a été démontré que si p est non ramifié, c’est-à-dire si f, = 1, f/fs = f, HSfty = H. Supposons p ramifié. Soit K7 le corps d'inertie de p dans K. p n’est pas ramifié dans Kr, donc Kr est corps de classes pour un groupe H# dont le conducteur n’est pas divisible par p. Ce conducteur divisant f, divise f/f,, et par suite H4 contient Sp. Réciproquement

474 C. Chevalley.

le corps de classes pour ce groupe est tel que p n’y soit pas ramifié. Il est donc contenu dans KY, ce qui prouve notre assertion.

4) Pour tout module m multiple de f, les idéaux premiers à m de H sont les idéaux de k qui sont congrus (mod. m) à la norme relative de K par rapport à % d’un idéal de X premier à m.

5) Si Kest corps de classes sur # pour le groupe A, si Æ est un surcorps fini quelconque de k, Kk est corps de classes sur # pour le groupe des idéaux de Æ dont la norme par rapport à k est dans FH.

6) Si K, K’ sont corps de classes sur 4 pour les groupes 4, H”', KK° est corps de classes pour [H, H”] et [K, K”’] est corps de classes pour le groupe HH'.

7) Etant donné un groupe de congruence H dans k, il y a un corps de classes À sur k pour le groupe H.

Table des Matières.

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