CAPES TR AN = EP

et en tenant compte de ce que Æ est par rapport à k* cyclique, et par suite aussi corps de classes,

ce qui démontre que K est corps de classes par rapport à K*.

Donc À est corps de classes par rapport à 4, pour le groupe Æ, des nombres de k, dont la norme par rapport à Æ* est dans Æ* (voir p. 452). D'ailleurs K est cyclique par rapport à 4. Enfin il y a un automorphisme de #, par rapport à &* prolongeant r. Nous le désignerons encore par Tr. K est complètement ramifié par rapport à k, donc aussi par rapport à #.

Soit (K:4,) — n et soit K7 le sur-corps non-ramifié de 4, de degré relatif ». Reprenons les notations et les résultats de la démonstration du lemme de la p. 453 ; k, jouant le rôle que jouait &. Remarquons que

Q étant un nombre tel que oo = 9. Or KK7 étant galoisien par rapport à k*, r peut être considéré comme un automorphisme de KK7 par rapport à k*. K7 étant évidemment abélien par rapport à &* (il

456 C. Chevalleg.

résulte de la composition de k°et d’un corps non ramifié par rapport à k*) Tr est permutable avec 0’. K étant galoïsien par rapport à £*, on a earth diir Or

œ" = T0. ot 0! .….. 0" #%Q

et roa’t-!.rQ = 59; donc &°est norme d’un nombre du sous-corps K de KK' appartenant au groupe (ro077") = (9*o’). Or æ'7" appartient aux groupes associés à K'et à K’ dans 4”. Donc æ'°" est norme par rapport à Æ, d’un nombre de X, qui est sous-corps de XK”, cyclique par rapport à Æ (voir p. 453). «° et w'7" étant normes chacun d’un nombre de K,;, il en est de même de &. « est donc norme par rapport à #4, d’un nombre de X; et d’un nombre de K”’ (on rappelle que K7” est le souscorps de KK’ appartenant au groupe (oa’)). Considérons le corps XK””: il appartient dans XX” au groupe partie commune des groupes (s’) et (o*o’). Soit « le plus petit nombre positif tel que æ(a — 1) = 0 (mod. n): cette partie commune est le groupe (a°o’*). Le corps XK”’ contient donc le sous-corps K, de K qui appartient au sous-groupe (5°) du groupe de K par rapport à 4. Donc & est norme par rapport à 4, d’un nombre de K,, et œ est norme par rapport à k, d’un nombre de À. Ce qui n’est possible que si æ = 1 donc a = 1 (mod. n}, done a = 1, ro = or.

Il en résulte que K est abélien par rapport au sous-corps de k: formé des éléments invariants par r, sous-corps qui est contenu dans #. Donc Kest abélien par rapport à k, et complètement ramifié. Donc K est composé de corps cycliques et complètement ramifiés par rapport à k. Il suffit maintenant pour chacun de ces corps de refaire le raisonnement précédent en remplaçant k par #, T par un automorphisme primitif de % par rapport à k*: chacun de ces sur-corps cycliques sera abélien par rapport à k*, donc aussi K.

Enfin pour démontrer que K, dans le cas général où il n’est pas cyclique par rapport à k, est corps de classes par rapport à Æ*, il suffit de reprendre le raisonnement du début de notre démonstration.

On remarquera que la condition que H contienne tous les nombres æ 7" est équivalente à la suivante: 77 contient tous les nombres de # dont la norme par rapport à k* est 1.

36) 1-7, qui est, en vertu de sa forme même, de norme 1 par rapport à Æ*, est dans le groupe Æ;, pour lequel Æ est corps de classes sur 4. Il appartient au groupe associé à X” parce que X’ étant non-ramifié, est corps de classes sur À pour le groupe des nombres de #, d’ordte multiple de (K':k), auquel appartient æ1-7, qui est une unité.

Théorème d'existence. Corps cycliques de degré premier.

Soit k un corps local. Soit dans le groupe À des nombres + 0 de k, H un sous-groupe d'indice l premier. Il y à un sur-corps K de k corps de classes pour I.

1% cas. & contient les racines /-èmes. de l’unité.

Dans ce cas, les corps X; relativement cycliques de degré { par rapport à & sont de la forme k({/« ), æ étant un nombre + 0 de 4. Soit K le corps composé de tous les X, Le nombre (K:#k) est égal à (æ : æ!) qui est un nombre fini (voir p. 418), et le groupe de Galois de X par rapport à k est produit direct de groupes d’ordre Z, done isomorphe à æ&/æ'. Le nombre des corps K; est le nombre des sous-groupes d'indice 1 du groupe de Galois, donc aussi le nombre des sous-groupes d'indice l du groupe des «, car tout sous-groupe d'indice { contient nécessairement le groupe &'. Or chacun des corps K,; est corps de classes pour un de ces sous-groupes, et deux corps distincts sont corps de classes pour des sous-groupes distincts. Il en résulte que pour chaque sous-groupe, il y à un corps de classes.

.2% ças. k ne contient pas les racines /-èmes. de l’unité. Soit Æ le corps déduit de % par adjonction des racines /-èmes. de l’unité. f est un sur-corps relativement cyclique de 4. Son groupe de Galois est engendré par une opération r dont l’ordre a divise ! — 1.. Soient H* le groupe associé à k dans k, le groupe des nombres de £ dont les normes relatives

par rapport à k sont dans A, À le groupe des nombres + 0 de #. En vertu du principe d’isomorphie, on a

(AH) = CH AA) = CHE), Or les nombres (4 : A), (A : H*) étant premiers entre eux, on a ÆH* = À, done (4: H)=1. Ilexiste done un corps X corps de classes sur # pour le groupe À « étant un nombre quelconque de k, le nombre æ&7" appartient à À. Donc À est abélien de degré al par rapport à k. La norme par rapport à £ d’un nombre de X'est évidemment dans ZT et dans

H*, donc le groupe associé à K dans k est contenu dans [ A, H*]. Maïs ce dernier groupe est d'indice al dans À, donc est le groupe associé à K (ce groupe associé étant aussi d'indice al). Or K contient un souscorps K relativement cyclique d'ordre ? par rapport à &. Le corps K'est corps de classes sur pour un groupe d'indice l dans À qui contient CH, H*]. Il n’y a qu’un tel groupe et c’est 1.

458 C. Chevalley.

Théorème réciproque.

Nous sommes maintenant en mesure de préciser les énoncés du paragraphe 4.

1) k élant un corps local, À le groupe des nombres + 0 de k, K'un surcorps relativement cyclique de degré n, H le groupe associé à K, A/H est cyclique.

Le théorème est vrai si K est complètement ramifié (voir p. 453) ou si Kest non ramifié. est en effet alors le groupe des nombres dont l’ordre est multiple de n (voir p. 423). Soit maintenant un sur-corps X relativement cyclique quelconque et soit K7 le corps d'inertie de l'idéal premier de k dans À: Supposons 4/H non cyclique, et soit H, le groupe associé à K7 dans k. Le groupe 4/H, est cyclique, car XK- est sur-corps non ramifié de k. Il y a done un groupe H” contenant Æ mais non ÆHy, d'indice premier { dans 4%? Il y a un corps K’ relativement cyclique par rapport à k et corps de classes pour A’ (voir p. 457). Soit H’ le groupe des nombres de K, dont la norme par rapport à 4 tombe dans H", et soit 47 le groupe des nombres différents de 0 de K7. On a

(Ar : À) = (Hr: CHy, H°]) = 1 D'autre part la norme par rapport à K7 dun nombre de K’K7; est dans H'. Donc K’K7 est corps de classes sur K7 pour le groupe À’; mais K est corps de classes sur Æx pour le groupe A’ des nombres de K, dont la norme par rapport à k est dans 7; comme K est complètement ramifié par rapport à Kr, Ar/H” est cyclique; donc il n’y a qu’un groupe contenant A” et d’indice L dans 47. Ce groupe est H’. Or Kcontient un corps de degré relatif { par rapport à Kr, car (K: Kr) = (Hr: H) est divisible par / par suite de l’existence de Æ'; ce corps est corps de classes pour un sous-groupe d'indice

l de’4r contenant {”, done pour H'. Ce corps est done K’Kr. Done K'K7 est contenu dans X, qui ne peut donc être cyclique.

2) Soient k un corps local, A le groupe des nombres différents de 0 de k, K'un sur-corps relativement abélien de k, H le groupe associé à K dans k. Le groupe A/IT est isomorphe au groupe de Galois de K par rapport à k. Il en résulte que K est corps de classes par rapport à k.

En effet le théorème est démontré pour tous les corps X'relativement

37) En effet, si pour Chaque diviseur premier { de (A: ) un sous-groupe de A/H d'indice ! contenait nécessairement Hr/H, il n’y aurait pour chaque { qu’un tel sousgroupe, et 4/H serait cyclique,

cycliques. Supposons le démontré pour tous les corps composés de r corps cycliques au plus. Remarquons d’abord qu’il en résulte que, H* désignant un groupe contenant À et tel que A/H* soit cyclique, K contient un corps de classes pour H*. En effet, le nombre des groupes H* est égal au nombre des sous-groupes à quotient cyclique du groupe de Galois de K, donc au nombre des sous-corps K* de Æ qui sont cycliques par rapport à k. Or chacun de ces corps est corps de classes pour un groupe /1* et plusieurs K* ne peuvent être corps de classes pour le même ÆH*, ce qui démontre la proposition.

Ceci posé, un sur-corps relativement abélien composé de r+1 corps cycliques se met sous la formé KK, K étant composé de r corps cycliques, K; étant cyclique. De plus on peut supposer K' et K; étrangers par rapport à 4 Soient H, H, les groupe associés à K, K dans k. Je dis que H* = HH, est égal à À En effet 4/H, est cyclique, donc aussi 4/H*. H* contenant H et FH, il résulte de la remarque précédente que dans K et K1 on peut trouver des corps de classes pour H*. Ces corps de classes doivent être identiques, et, puisque K et K; sont étrangers, ils se réduisent à %. Done H* = À. Il en résulte que 4/[H, H,] est isomorphe au produit direct de A/H et de 4/H,, donc aussi au produit direct des groupes de Galois de K, K; par rapport à 4, donc encore au groupe de Galois de KK par rapport à 4. D’autre part, la norme par rapport à k d’un nombre de KK; étant dans Æ et dans H, KK; est corps de classes pour [H, H]}”.

3) Théorème d'Unicité: Soient k un corps local, K, K7 deux surcorps relativement abéliens de k, corps de classes pour les groupes H, H”. Ki HDH',ona KC K’ et réciproquement.

En effet K est composé de corps K; cycliques par rapport à k. Soient H, les groupes associés à ces corps K;. A désignant le groupe des nombres différents de 0 de #, on a vu que le groupe de Galois de Æ7 par rapport à X est isomorphe à A/H", et qu’il en résulte que, pour tout groupe contenant AH” et à quotient cyclique dans 4, K° contient un corps de classes: en particulier pour les A. Mais en vertu du théorème d’unicité pour les corps cycliques, il en résulte que K, est dans K’, donc KC K’. Ilen résulte: Si K, K' sont des corps relativement abéliens, corps de classes pour les groupes H, H”, KK° est corps de classes pour [H, H”] et [K, K'] est corps de classes pour HH.

4) Théorème d'Existence: Soient k un corps local, À le groupe des nombres différents de 0 de k, H un sous-groupe d'indice fini de À. Il existe

460 C. Chevalley.

un corps K, relativement abélien par rapport à k et corps de classes sur & pour le groupe H.

En effet soit (4: H) = n. Le théorème est démontré quand n est premier (voir p. 457). Supposons le démontré pour toutes les valeurs de l'indice < n. Choisissons un groupe Æ, contenant 1 et d'indice 7

dans À, | premier. Soient À le corps de classes sur k pour H,, A le

groupe des nombres + 0 de K, À le groupe des nombres de Æ dont la norme par rapport à k est dans Æ. On a (principe d’isomorphie)

CAD ro Donc par hypothèse, il existe un corps Æ abélien par

rapport à K et corps de classes sur ÆÀ pour le groupe À. Or K est cyclique par rapport à X et H contient évidemment tous les nombres de

K de norme relative 1 par rapport à & Donc (voir p.454) K est abélien par rapport à k et corps de classes pour son groupe associé, qui est, comme il résulte de la démonstration de la p. 454, le groupe des normes

relatives des nombres de À, donc FH.

Extensions locales quelconques.

Nous nous proposons de démontrer le théorème suivant : Soient k un corps local, K un sur-corps relativement alélien de k, corps

de classes pour le groupe H de k ; k une extension finie quelconque de k. Le

corps KA est corps de classes sur k pour le groupe I des nombre de k dont la norme par rapport à k tombe dans H.

1) Supposons d’abord # galoisien par rapport à k. Comme nous l'avons déja dit” on démontre que Æ est métacyelique par rapport à &. Nous dirons que l'extension Æ de Æ est n-métacyclique s’il existe une suite de corps k, (à = 0, 1,..., n) avec & = k, à, = &, k, étant sur-Corps relativement cyclique de k,.. Nous procèderons par récurrence sur n.

a) Sin— 1, k est cyclique sur k, Kk est relativement abélien, done corps de classes par rapport à k, et le théorème résulte de celui de la p. 452.

b) Supposons le théorème démontré pour toutes les extensions (n—1)-métacycliques. Il existe un sous-corps Æ* de Æ tel que k* soit (n—1)-métacyclique par rapport à k et que Æ soit cyclique par rapport à k*. Le corps XK* est corps de classes sur Æ* pour le groupe H* des nombres de Æ* dont la norme par rapport à Æ tombe dans Æ Or

Kk = Kk* k est corps de classes sur Æ pour le groupe des nombres de Æ dont la norme par rapport à #* tombe dans H*. Ce groupe est précisément Î1.

2) Pour démontrer le théorème dans le cas général, nous démontrerons d’abord le cas particulier suivant :

Soient k un corps local, K une extension finie de k, H le groupe associé à K dans k. Le groupe H est le groupe associé dans k au plus grand corps abélien par rapport à k et contenu dans K.

Cet énoncé se déduit de l'énoncé général donné plus haut en faisant

jouer à K le rôle que jouait #, et au plus grand sous-corps de K abélien par rapport à % le rôle que jouait K. D’après la I" partie de la démonstration, ce théorème est vrai quand K est relativement galoisien par rapport à %. Dans le cas général, nous désignerons par K* un sur-corps relativement galoisien de # contenant K, par G le groupe de Galois de K*, par g le groupe auquel appartient K.

a) Si le théorème est démontré dans le cas où l’ordre de g est de la forme p*, p premier, il est démontré dans le cas général. Soit en effet n = [pi l'ordre de g. On démontre (voir par exemple Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, p. 65) que l’on peut, pour chaque »p, choisir un sous-groupe de g d’ordre pti, appelé groupe de Sylow. Soit 9, le groupe ainsi obtenu, et soit K; le sous-corps de K* appartenant à ce groupe. Soit À, le groupe associé à X; dans K. Chacun des H, est contenu dans H, donc il en est de même de leur groupe composé HH,..H,. Par hypothèse, Æ; est le groupe associé au plus grand corps K; contenu dans X,; et abélien par rapport à 4. Donc H,H,... H, est le groupe associé à CR ERP ET

Or le groupe composé des 9, est le groupe g. En effet ce groupe est contenu dans g et son ordre est divisible par tous les pai. Donc K'est la partie commune des K;, et Kest contenu dans X. Je dis que c’est le corps maximum contenu dans Æ et abélien par rapport à &. Supposons en effet qu’il y ait un corps K’ contenant K comme sous-corps, contenu dans Æ et abélien par rapport à 4. Donc K7 doit être contenu dans chacun des K;, et par suite des K;, donc aussi dans À. On a vu que H contient le groupe associé à K; K étant contenu dans K, H est aussi contenu dans ce groupe, et par suite lui est identique.

b) Si le théorème est démontré pour un corps K, il est aussi démontré pour un corps K”, relativement cyclique de degré premier p par rapport à X En effet, soient H, H” les groupes associés à K, FE;

462 C. Chevalley.

dans #;, À le groupe des nombres différents de 0 de K, À le groupe

associé à K’ dans K, H* le groupe des nombres de X dont la norme par rapport à k est dans A”. Ona:

(ANENT EN H* DE, (4 : À) divise p.

Donc (H: H') est égal à Lou àp. Soit À’ le corps relativement abélien par rapport à k corps de classes pour AH”, et soit K le corps relativement abélien maximum contenu dans K, donc corps de classes sur Æ pour le groupe H. Ona:(K’:K)=1 ou p. Donc, (KK’:K) = 1 ou p. Si (KK’: K) = 1, il faut que K” soit contenu dans X, donc soit identique à K, et on a A = H': la proposition est vraie dans ce cas. Si(KK’: K) = p, on a (4: H) = (H:H°') = p, donc À = H*. Le corps KK' est corps de classes sur Æ pour un groupe qui est certainement contenu dans H* et qui est d'indice p dans À Ce groupe est H*, et, en vertu du théorème d’unicité, KK’ = K’. Donc K’ est contenu dans K’ et est corps relativement abélien maximum contenu dans K”’. La proposition est encore démontrée dans ce cas.

c) Ceci permet de se ramener au cas où g est un groupe de Sylow de G. En effet, on démontre (voir par exémple Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung p. 80) que g étant un groupe d’ordre p*, contenu dans un groupe de Sylow g de G, il existe une suite de groupes %o = g; Ju 92. Jr = telle que 9, contienne 9; , comme sousgroupe invariant d'indice p. Soit K; le sous-corps de K* appartenant au groupe %. Ki contient K;, par rapport auquel il est relativement cyclique de degré p. II suffit d'appliquer plusieurs fois le raisonnement de b).

d) Supposons donc que g soit un groupe de Sylow d'ordre p" de G. Soient A, H* les groupes associés à X, K* dans k, À le groupe des nombres différents de 0 de X, H* le groupe des nombres de Æ dont la norme par rappor à k est dans H*. Ecrivons:

Or H* contient le groupe 7 associé à K* dans K. Comme (K*: K)=p°,

la puissance p‘ième de tout nombre de X est dans À. Donc (4: H*) est une puissance de p. Au contraire, si à est l’ordre de G, la puissance

Sur la théorie du corps de classes. 463 n ETA d 1ème de tout nombre de À est dans H: donc (A: A) est premier à

p, et est par suite le plus grand diviseur n* de (4: H*) premier à p. Mais (4 : H*) est le degré relatif par rapport à # du corps K* maximum contenu dans K* et abélien par rapport à k. n* est le degré du plus grand'sous-corps K de K* dont le degré par rapport à k est premier à p. Or KK est contenu dans K*. Comme (KK:K) est premier à p, et (K*: K) = p°, il faut que KK = K, done que X soit contenu dans Æ. Soit H’ le groupe associé à K dans k: on a H’ D H et (A:H) = (4: H)= n*, donc H' = H. Si K contenait un corps Æ’ abélien par rapport à k et plus grand que K, H devrait être contenu dans le groupe associé à ce corps, ce qui est impossible. Le lemme intermédiaire est donc complètement démontré.

e) Revenons aux notations de l'énoncé du théorème, et soient À le groupe des nombres différents de 0 de #, h le groupe associé à Æ dans k. Ona (4: H)

GE) = Qi CAD = GA) = ny

Soit 4* le plus grand corps contenu dans # et abélien par rapport à k. Donc k* est corps de classes pour le groupe h, et [K, k*] est corps de classes sur X pour le groupe hH. Donc,

(A: A) = (CK, k*] : b).

Mais [Æ, &*] = [K,K]. En effet, il est évident que [K, &*] C [K, k]. D'autre part [K, k] est un sous-corps de k abélien par rapport à £*, donc contenu dans k*, et dans K. Done, [K, k] C [K, k*], ce qui démontre l'égalité. Done, puisque (4: H) = (K:k),

À: H) = — (K:E) K:[K, k]) = (Kk:k).

( ) (LR E : D) (K: CK, k]) = ( )

Soit H' le groupe associé à KE dans & Comme Xk est abélien par rapport àk,ona

(À : À) = (KR : b) = (A: À) et il est clair que H'C À. Donc À’ = À, ce qui démontre le théorème.

De ce théorème résulte en particulier que: Si k est un corps local, si K est un sur-corps de k qui est corps de classes sur k, K° est relativement abélien par rapport à K.

464 C. Chevalley.

Application aux restes normiques.

Soit £ un corps fini de nombres algébriques, et soit K une extension finie, relativement galoisienne de k. Soit p un idéal premier de 4, et soit $ un facteur premier de p dans K. La condition nécessaire et suffisante pour qu’un nombre «& de k soit, quel que soit n, reste normique de K (mod. p") est que «, considéré comme nombre de %,, soit norme relative par rapport à #, d’un nombre de K% (voir p. 419). Mais pour cela il faut et il suffit que æ soit norme par rapport à 4, d’un nombre

du corps À maximum contenu dans Kw et abélien sur k,. Or soit G, le groupe de décomposition de $ dans l'extension Æ de k. G; peut encore être considéré comme groupe de Galoïis de X% par rapport à k, Le corps K appartient à un sous-groupe g de G;. Soit K* le sous-corps de K qui appartient au groupe g. K* est le plus grand corps contenu entre K, (corps de décomposition de $) et K, et abélien par rapport à K;. Soit $* l'idéal premier de ce corps divisible par $. Le corps K'est le corps des nombres $*-adiques de K*. Par suite :

La condition nécessaire et suffisante pour que æ soit, quel que soûît n, reste normique de K (mod. p*) est que « soût, pour les mêmes modules, reste normique de K*.