H. MOUTON
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organisés).
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que mathématique.
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MM. ; C. MAURAIN, Professeur, Physique du globe.
Analyse supérieure et algèbre supérieure.
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PRENANE EN es Zoologie.
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rimentale.
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COMENT Sciences naturelles (P. C. N.).
ÉLENTER1S. ICT Mécanique rationnelle.
PÉRÉS 15-38 . Mécanique des fluides.
HAOCKSPILL . Chimie (P. C. N.).
LAUGIER. . . . .. Physiologie générale.
TOUSSAINT . . . . . Technique Aéronautique.
AT CUIR et Res Physique (P. C. N.).
par
Claude CHEVALLEY à Paris.
Introduction
La théorie des corps de nombres algébriques a été développée pour étudier certaines questions d’arithmétique élémentaire : principalement le théorème de Fermat ainsi que la théorie des formes quadratiques, à propos desquelles Gauss introduisait déjà les nombres a + bi, a et b étant des entiers ordinaires, à = 4 — 1. Mais la théorie ne se constitua vraiment en corps de doctrines indépendant que quand Kummer et Dedekind eurent surmonté la difficulté qui avait arrêté Gauss, à savoir que les théorèmes fondamentaux (plus grand commun diviseur, décomposition en facteurs premiers) de l’arithmétique ordinaire ne s'étendent pas aux entiers algébriques. Ces deux auteurs ont montré qu’on retrouvait toutes ces lois en remplaçant la notion de nombre par la notion d’idéal”. Dans chaque corps de nombres algébriques fini #, on trouve une infinité d’idéaux premiers bp, et tous les idéaux sont composés à partir de ceux-là exactement comme les nombres rationnels à partir des nombres premiers. Mais ces idéaux premiers ne restent plus des idéaux premiers dans un corps k/ contenant k, et une question essentielle de la théorie va être la suivante: comment les idéaux de # vont ils se représenter comme produits d’idéaux premiers de k”.
Etant donné un idéal premier déterminé de k, on sait répondre à la question (voir notamment les travaux de O. Ore). Maïs le problème est de trouver une loi générale de décomposition, permettant de trouver a priori tous les idéaux premiers ayant une loi de décomposition déter-
ininée.
1) On trouvera dans les travaux de Mlle. Noether exposés notamment dans “ Van der Waerden, Moderne Algebra ”, une analyse très générale et profonde de la notion d’idéal qui a conquis l’algèbre et la géométrie analytique après l’arithmétique.
Ce problème n’est résolu que dans un cas particulier, celui où k' est relativement abélien par rapport à Æ et il est résolu dans ce cas par la théorie des corps de classes. Le principe de cette théorie remonte à Hilbert. Probablement par analogie avec ce qui se passe dans certains cas particuliers (sur-corps d’un corps quadratique imaginaire étudiés par Kronecker), Hilbert appelle corps de classes par rapport à # un surcorps £’ relativement abélien non ramifié (c’est-à-dire qu'aucun idéal premier de # n’est divisible par le carré d’un idéal premier de X’), et 1l admet les faits suivants: (Ueber die Theorie der relativ Abelschen Zahlkôrper, Gôtting. Nachr. 1898)
1) &' étant corps de classes par rapport à k, il y a un sous-groupe H du groupe À des classes d’idéaux de k, tel que les idéaux premiers de H et ceux-là seuls se décomposent dans £’ en idéaux de degré relatif 1. Si p n'appartient pas à F1, soit p’ la plus petite puissance de p appartenant à /1: p se décompose dans k/ en idéaux de degré relatif f.
2) Le groupe 4/H est isomorphe au groupe de Galoïis de X par rapport à k.
3) Il existe un corps de classes maximum pour lequel le groupe H se réduit à la classe unité. Pour tout groupe de classes ZT, il existe un corps de classes et un seul qui est contenu dans ce corps maximum.
4) Les idéaux de # deviennent tous des idéaux PRADA dans le corps de classes maximum.
Hiïlbert démontre des cas particuliers de ces propositions. Furtwängler, reprenant les méthodes de Hiülbert, démontre dans leur généralité les 3 premières propositions (Furtwängler, Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkôrper eines beliebigen algebraischen Zahlkôrpers, Math. Ann. 63, 1907).
La théorie n’incluait encore qu’une partie de l'étude des sur-corps relativement abéliens. L'idée de la généralisation aux corps relativement abéliens quelconques remonte à Weber qui proposa de remplacer dans la définition du corps de classes, les classes ordinaires par des groupes plus restreints d’idéaux, obtenus en appelant classe principale l’ensemble des idéaux principaux représentables par un nombre æ qui est = 1 modulo un idéal fixe (Weber, Ueber Zahlengruppen in algebraischen Kôrpern, Math. Ann. 48, 49, 50, 1897-1898). Mais il n’a pu au moyen de cette définition démontrer les théorèmes 1,
La première théorie générale du corps er ou abélien à été donnée par Takagi (Ueber eine Theorie des relativ Abelschen Zahlkorpers, Journal Coll. Science, Tokyo, 41, 1920), qui a montré le premier comment on pouvait explicitement donner le groupe Æ pour
lequel un Corps est corps de classes. Dans la théorie de Takagiï, on construit tout d’abord le groupe H, et on appelle k! corps de classes si ce groupe À est d'indice égal au degré relatif de k. On démontre alors les propriétés 1, 2, 8.
Un autre problème fondamental de la théorie des corps de nombres algébriques est celui de l'obtention de lois de réciprocité entre les nombres algébriques, analogues à la loi de réciprocité quadratique. Ce problème est en effet intimement lié au théorème de Fermat. Cette théorie s’est développée parallèlement à celle du corps de classes. Le lien profond entre ces deux théories est constitué par la loi fondamentale de réciprocité de M. Artin (Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes, Abhand. Math. Sem. Hamburg, 5, 1927) qui permet de réaliser effectivement l’isomorphie entre le groupe 4/H et le groupe de Galois relatif d’un corps de classes. Toutes les lois de réciprocité connues sont des conséquences de cette loi générale.
On trouvera exposée la théorie du corps de classes et celle des lois de réciprocité dans un ouvrage de M. Hasse “ Bericht über neueré Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zah]lkôrper.?” Pi®
La théorie de Takagi, qu’on trouvera exposée dans le mémoire cité de Takagi ou dans le Bericht de Hasse, présente l’inconvénient d’être extrêmement compliquée, et, à son point de départ, assez artificielle. On trouvera dans ce travail un exposé nouveau de la théorie du corps de classes.
L’affirmation essentielle de la théorie nous a paru pouvoir se décomposer en deux parties : l’une affirme que les lois de décomposition dépendent d’une division en classes des idéaux définie par un certain sous-groupe À du groupe des idéaux ; la seconde précise quel est ce groupe /T; or la première assertion est intimement liée à la loi générale de réciprocité. Nous démontrons d’abord ici (théorème A du chap. VI), qu’on peut construire un groupe 1 pour lequel les propriétés 1, 2 sont vraies. Nous appelons ce groupe le groupe de Artin associé au surcorps. La démonstration est très courte et n’exige pas l’emploi des moyens analytiques (fonctions €, séries L(s, 7), etc). Il faut ensuite démontrer que ce groupe /1 coïncide avec le groupe défini par Takagi (théorème B du chapitre VI). Nous montrons que si cela est vrai pour les corps relativement circulaires (obtenus par adjonction de racines de
1bis) Parue aussi dans Jahresbericht Deutscher Mathematiker-Vereinigung, 35 (1926) et Ergänzungsband VI (1930).
368 C. Chevalley
l'unité), cela est toujours vrai—et cela par une réduction purement arithmétique.—Au contraire pour démontrer que la proposition est vraie dans le cas des corps circulaires, nous sommes obligés d'employer les moyens analytiques. La démonstration ainsi obtenue est plus simple que celle de la théorie de Takagi-Hasse, car elle évite la réduction du cas “cyclique de degré { premier” au cas “cyclique de degré l"”, réduction qui était extrêmement compliquée. La simplification provient de l'emploi d’un théorème dû à Herbrand (théorème des unités) et d’un mode de raisonnement qui a été depuis systématisé par Herbrand sous la forme d’un lemme de théorie des groupes (lemme de Herbrand). De : plus, nous obtenons en même temps que le théorème réciproque, la loi de réciprocité de M. Artin qui exigeait antérieurement une démonstration séparée.
La démonstration de la propriété 3 (théorème d’existence) est également nouvelle et plus simple que dans l’ancienne théorie. Le principe de cette démonstration a été trouvé simultanément par Herbrand et par l'auteur, d’une manière indépendante. Enfin, le fait que nous possédons déjà la loi de réciprocité nous permet d'éviter les réductions successives de la démonstration du théorème d’existence dans la théorie de Takagi- Hasse.
D'autre part, nous avons développé entièrement la théorie du corps de classes “local”, c’est-à-dire des extensions abéliennes des corps de nombres p-adiques de Hensel. Cette théorie est identique à la théorie des restes normiques, dont l’origine remonte à Hilbert. Elle avait été faite pour les corps abéliens par Hasse: “Die Normenresttheorie relativ Abelscher Zahlkôürper als Klassenkôrpertheorie im Kleinen, Journal de Crelle, 162, 1930 ”, et Schmidt: ‘“ Zur Klassenkôrpertheorie im Kleinen, Journal de Crelle, 162, 1930)” d’une manière indirecte, comme conséquence de la théorie du corps de classes. Nous donnons ici des démonstrations directes et purement arithmétiques.!t” Nous fondons également la théorie des restes normiques pour les sur-corps non relativement abéliens, ce qui donne un des rares résultats connus de la théorie de ces corps.
Nous avons cherché à rester aussi élémentaires que possible au cours de ce travail. Nous présupposons connue la théorie élémentaire des idéaux d’un corps de nombres algébriques (on en trouvera un exposé très clair dans le livre de M. Hecke, Theorie der algebraischen
iter) Depuis que ces lignes ont été écrites, jai appris que M. Schmidt a aussi développé, mais sans la publier, une théorie directe du corps de classes local. Cette théorie est différente de celle ici exposée.
Zahlen) ; la théorie de Galois et les faits fondamentaux de la théorie des groupes finis (voir notes 2 et 12).
Le chapitre Lest consacré à la théorie des groupes. Nous y rappelons les faits qui nous serviront dans la suite et y démontrons quelques lemmes qui seront d'application constante.
Le chapitre IT est consacré à la démonstration de quelques résultats de la théorie des groupes de décomposition et d'inertie de Hilbert.
Le chapitre III définit les groupes de congruence de Weber et donne leurs propriétés essentielles.
Le chapitre IV contient les résultats fondamentaux de la théorie des corps relativement cycliqués, théorème normique de Hilbert, théorie des corps kummériens. Les démonstrations de ces théorèmes sont nouvelles. On y trouvera aussi un théorème inédit sur la base relative d’un corps galoisien, qui est démontré par une méthode analogue à celle employée par Herbrand pour le théorème des unités. La démonstration qu'on en donne est dûe à Monsieur Hasse, qui a bien voulu nous la communiquer, après lecture d’une démonstration antérieure et plus compliquée de l’auteur. Ce théorème à été également démontré par M. Deuring, mais par des méthodes différentes.
Le chapitre V est consacré à l'étude des “valeurs absolues ” d’un corps de nombres algébriques, en particulier des corps de nombres padiques de Hensel. La démonstration qu’on y trouvera du fait que toutes les valeurs absolues possibles sont celles des types connus est une legère modification d’une démonstration trouvée cette année par M. Artin (la première démonstration remonte à Ostrowski).
Le chapitre VI pose la définition du corps de classes et contient les énoncés des théorèmes fondamentaux A et B dont nous avons parlé, ainsi que la démonstration du théorème A.
Le chapitre VIL est consacré aux corps circulaires, dont l'étude est nécessaire pour le démonstration du théorème B qui fait l’objet du chapitre VIIL Le chapitre IX contient la théorie du corps de classes local, et le chapitre X la démonstration du théorème d’existence.
La plupart des résultats de ce travail ont été communiqués à l'Académie des Sciences de Paris dans des notes: Sur la théorie des Restes Normiques, C. R. 1930, p. 246; Nouvelle Démonstration du Théorème d’Existence en théorie du Corps de Classes (en collaboration avec J. Herbrand), 1931, p. 814; Sur la Structure de la Théorie du Corps de Classes, 1932.
Qu'il me soit permis d'exprimer ici ma reconnaissance à Monsieur Garnier dont les conseils m'ont été précieux; à Messieurs Vessiot et
370 C. Chevalley.
Montel, qui ont bien voulu s'intéresser à mes travaux, à Monsieur Artin et à Monsieur Hasse qui m'ont permis de faire connaître ici diverses simplifications de la théorie, et enfin à Monsieur Tyanaga qui a bien voulu relire avec moi ce travail.
De plus, je remercie aussi vivement la Faculté des Sciences de l’Université de Tokyo, et tout particulièrement Monsieur Takagi, qui a bien voulu proposer ce mémoire pour l’impression dans ce Journal.
