Chapitre I
Démonstration de quelques lemmes de théorie des groupes.
Nous n’aurons presque à considérer au cours de ce travail que des groupes abéliens. Nous allons ici donner quelques propriétés de ces groupes, qui seront d’an usage constant.”
Tout d’abord, rappelons qu’un ensemble d'éléments est dit former un groupe quand il existe une loi de composition entre les éléments de cet ensemble jouissant des propriétés suivantes :
1) A et B étant deux éléments, la loi de composition definit un troisième élément C représenté par AB et défini univoquement par la donnée de 4, B.
2) Ona A(BC) = (AB)C.
83) L'égalité AB = AB' entraîne B=B'. L'égalité AB = 4!'B entraîne À = À’.
4) A et B étant deux éléments quelconques, il y a un élément X tel que AX = B, et un élément Y tel que YA = B.
De ces axiomes résulte l’existence et l’unicité d’un élément E, appelé élément unité, (et généralement représenté par 1) tel que AE = À pour tout élément du groupe. Si AB= E on a aussi BA = E, et l’élément B se représente par A7.
G étant un groupe, un ensemble d'éléments de G qui, en vertu de la loi de composition régnant dans G forme lui-même un groupe, est appelé un sous-groupe. L'ensemble formé de tous les éléments de G et l’ensemble formé du seul élément unité sont des sous-groupes. Les sousgroupes différant des précédents sont appelés sous-groupes propres.
Les principaux groupes que nous aurons à considérer seront :
Le groupe des nombres + 0 d’un corps de nombres algébrique;, la loi de composition étant la multiplication.
Le groupe des idéaux (éventuellement des idéaux premiers à un idéal donné) d’un corps algébrique, la loi de composition étant la multiplication.
Le groupe des nombres d’un corps, la loi de composition étant l'addition. (Quand nous parlerons simplement d’un groupe de nombres, nous conviendrons que la loi de composition est la muliplication ;
la théorie des groupes abstraits, Gauthier-Villars, 1904 ou Speiser, die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 2m. édition, Springer, 1927.
Br C. Chevalley.
quand nous voudrons parler d’un groupe de nombres dans lequel la loi de composition est l’addition, nous dirons groupe additif).
Le groupe des automorphismes d’un corps ou groupe de Galois.
Et certains groupes dérivés des précédents.
Un groupe est dit abélien quand la loi de composition est commutative, c’est-à-dire quand pour deux éléments quelconques 4, B on a: AB = BA. C'est le cas des groupes que nous venons d’énumérer, sauf éventuellement des groupes de Galois.
G étant un groupe abélien, et Æ un sous-groupe, on appelle classe de G suivant Æ (en allemand Nebengruppe) l’ensemble & des éléments de @ ne difiérant de l’un d'eux À que par multiplication par un élément X de Æ A est dit un représentant de R. Tout élément de Rest un représentant. Le fait remarquable est que ces classes & forment ellesmêmes un groupe. En effet, soient deux classes À, ®. Choisissons dans chacune un représentant; soient 4, 4’ ces éléments. Soit ®” la classe qui contient A4’. On s’assure immédiatement que R/ ne dépend pas de la manière dont 4, 4’ ont été choisis dans ®, 8’: ®/ ne dépend que de &, R’ et nous poserons R// = R®. On montre facilement que cette loi de composition satisfait aux propriétés 1, 2, 3, 4, énoncées plus haut. Donc ces classes & forment un groupe qu’on appèlle groupe quotient de G par H.
Cette notion ne se généralise pas entièrement pour un groupe G quelconque. Il faut encore que soit un sous-groupe invariant de G, c’est-à-dire que, À étant un élément de G, et X un élément de Z7, A-'XA soit encore dans Æ. Dans ces conditions, À étant un élément de G!, et X parcourant les éléments de H, les ensembles d'éléments AX et XA sont identiques et forment une classe 8. Ces classes À forment encore un groupe qui sera le groupe quotient.
Notations. Ce groupe quotient se désigne par G/Æ. Tout élément de ( appartient à un élément de G/H, qu’on appelle sa classe (mod. 7). Si deux éléments 4, 4’ appartiennent au même élément de G/H, on dit que À, 4’ sont congrus mod. H et on écrit À = 4’ (mod. H). Ces congruences peuvent être multipliées membre à membre. La congruence À = 4’ (mod. H) a lieu si et seulement si A4/-! est dans
G étant un groupe, et À, 4’... étant des éléments (ou des systèmes d'éléments) de G, on désignera par (4; Alous a ) le plus petit groupe
contenu dans G et contenant tous ces éléments (ou tous les éléments de tous ces systèmes). 9, g' désignant deux sous-groupes, (9, g') sera encore représenté par gg. L'ensemble des éléments communs à 9, g', ensemble qui forme un groupe, sera désigné par [g, g'].
Si G est un groupe ne contenant qu’un nombre fini d'éléments, ce nombre est appelé ordre de G. Rappelons (théorème de Cauchy) que dans ce cas l’ordre de tout sous-groupe est un diviseur de l’ordre du groupe.
Si If est un sous-groupe invariant de G et si G/H ne contient qu’un nombre fini d'éléments, on dit que /7 est d'indice fini dans G et le nombre d'éléments de G/H est appelé indice de Æ dans G et représenté par (G: H). Si H' est un sous-groupe invariant de G contenant H, on a
