SUR LE

Depuis les immenses progrès qu’elle a fait faire à l’Analyse par les travaux de Cauchy et de Riemann, la théorie géométrique des quantités complexes a pris rang dans

Géométrie pure et à la Mécanique, lorsqu'on y considère les grandeurs géométriques pour elles-mêmes, et non plus comme un système particulier de notations remplaçcant les notations ordinaires de l’Algébre.

Cependant tout lecteur attentif des pages qui vonl suivre restera convaincu des avantages de cette méthode comme procédé d'Analyse géométrique, et ne pourra que s'étonner de l'indifférence avec laquelle à été accueillie jusqu’à ce jour la belle découverte de M, Giusto Bellavitis. Ce n’est pas que de nombreux travaux n’aientété faits dans la même direction. Mais aucun des auteurs qui ont traité ce sujet n'a présenté la méthode avec autant d’étendue que le savant professeur de Padoue, dont les travaux remontent à l’année 1832; aucun ne l’a exposée sous une forme aussi simple et aussi bien appropriée au sujet. Aussi sommes-nous heureux de l’occasion que nous offre la Rédaction des Nouvelles Annales, d'appeler l’attention des Géomètres français sur un instrument d'Analyse qui peut être d'une si grande utilité tant au point de vue de l’enseignement qu'à celui des progrès de la science.

Nous avons cherché à exposer le plus briévement possible les principes contenus dans les ouvrages que l’Auteur a bien voulu mettre à notre disposition (*), et notre tâche a été grandement facilitée par les précieuses indications qu'il nous a lui-même fournies.

1. Carnot, dans sa Géométrie de position, parle des avantages que retirerait la Géométrie de l'introduction d’un algorithme représentant à la fois la grandeur et la position des diverses parties d’une figure, de telle sorte que, sans avoir besoin de recourir à des considérations géométriques spéciales, on püt obtenir les résultats cherchés par lapplication d’un calcul fondé sur un petit nombre de lois générales.

Le désir de Carnot est complétement réalisé depuis trente-cinq ans par le Calcul des équipollences dù au génie inventif de M. Bellavitis. Bien que cette méthode féconde ne soit pas encore connue dans notre pays, cependant les principes sur lesquels elle repose ont été établis pour la première fois en France, il y a plus de soixante ans, par Argand, et développés ensuite à diverses reprises par les travaux de Français, de Mourey, de Saint-Venant, de Cauchy. Nous pourrions encore citer, parmi les ouvrages relatifs au même sujet, le Calcul de

(*) Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria analitica (Calcolo delle Equipollenze); Padova, 1835.

Saggio sull’ Alsebra degli immaginarii; Venezia, 1852.

Sposizione del metodo delle Equipollenze; Modena, 1854.

Calcolo dei Quaternioni di W. R. Hamilton, e sua relazione col metodo delle Equipollenze ; Modena, 1858.

Sposizione dei nuovi metodi di Geometria analitica ; Venezia, 1860.

Determinazione numerica delle Radici immaginarie delle equazioni algebriche; Venezia, 1564.

Elementi di Geometria, di Trigonometria e di Geometria analitica, ec. ; Padova, 1869.

situation de Scheffler (*), le Mémoire de Siebeck sur la Représentation graphique des fonctions imaginaires (**), le Calcul géométrique de Dillner (***), etc. La théorie des quaternions d'Hamilton (****) repose sur des bases analogues, et peut, jusqu’à un certain point, être regardée comme une extension à l’espace du Calcul des équipollences. Les règles de ce dernier Calcul sont précisément les mêmes que celles du Calcul algébrique, tandis que les quaternions exigent un algorithme spécial.

2. La méthode des équipollences se distingue principalement par les avantages suivants :

1° L’abondance des théorèmes, qui découlent d’un principe unique, toute propriété de poinis placés en ligne droite donnant immédiatement une propriété des points d’un plan, dès que l’on change les équations relatives aux premiers points en équipollences relatives aux seconds ;

2° La facilité avec laquelle on parvient à la solution graphique des problèmes : pour les questions mêmes qui passent pour difliciles, la méthode fournit directement des solutions plus courtes que celles que l’on avait découvertes par des combinaisons artificielles de théorèmes géométrique: ;

3° La théorie des courbes, débarrassée de tout système spécial de coordonnées, conduit à des formules plus simples et en même temps plus générales, qui expriment

(*) Der Situationskalkul; Braunschweig, 1851.

(**) Journal f. d. r. u. ang. Mathematik, Bd. LV, 1858.

(***) Geometrisk Kalkyl; Upsala, 1860. — L'auteur en fait paraître en ce moment une nouvelle rédaction dans l’excellent journal qu’il dirige (Tidskrift for Matematik och Fysik; Upsala).

(****) Lectures on Quaternions ; Dublin, 1853. — Elements of Quaternions; London, 1866.

(6) les aflections des courbes, sans qu'il soit besoin de Îles rapporter à aucun système arbitraire ; 4° Elle fournit le type réel des quantités imaginaires, par lequel sont pleinement justifiés les calculs de l’AIsèbre, de la manière que Cauchy regardait comme Ja

seule satisfaisante.

3. Pour faire connaître la méthode, il nous faut donner quelques définitions et quelques règles de calcul. Nous croyons inutile de nous arrêter à démontrer la légitimité des premières et la justesse des secondes, parce que, le lecteur une fois convaincu de l’utilité de la méthode, il lui sera facile de retrouver par lui-même la démonstration des principes.

4. Dérinirion. — Une droite désignée, comme d’habitude, par deux lettres, est considérée comme prise à partir du point indiqué par la première lettre jusqu'au point indiqué par la seconde, et l'on tient compte, nonseulement de sa grandeur, mais aussi de sa direction (*).

D’après cela, KT et IK ne sont pas deux droites équipollentes, quoique l’une soit équipollente à l’autre prise avec le signe —, c'est-à-dire que l’on ait KI — — IK.

Deux droites AB, DC sont dites équipollentes (et peuvent se remplacer mutuellement) dans le cas seulement où elles sont à la fois égales, parallèles et dirigées dans le méme sens, de sorte que ABCD soit un parallélogramme. C’est ce que l’on exprime en écrivant

AB— DC, ou AB—— CD, ou encore AB + CD —o.

(*) Pour exprimer qu’une droite est considérée à ce double point de vue, on surmonte quelquefois les deux lettres qui la représentent d’un trait horizontal; cependant, pour simplifier l'écriture, nous supprimerons ce trait, et il n’en pourra résulter aucune équivoque, en ayant soin d'employer Ja notation gr AB pour désigner la longueur de Ia ligne AB.

y E) Une droite affectée d’un coeflicient numérique conserve sa direction et change de longueur proportionnellement à ce coefficient. Ainsi l’équipollence

AB = 2DM

signifie que AB est parallèle à DM et dirigé dans le même sens, et que la longueur de AB est double de celle de DM. Pareillement, la formule