OY — UY — OÙ
nous montre que sur la droite OÙ on devra construire
un triangle OUÙY, dont on connaît les longueurs £g, nf
AU :v des deux côtés OY et UY = nf — f ot Ayant trouvé Ÿ,
on achèvera facilement le triangle AYX, directement semblable à AUO.
Plusieurs autres problèmes se résolvent comme Île précédent, en les ramenant à une équipollence trinôme, qui contient deux inconnues.
IL. Couper deux droites données AD, BE par une troisième XY, de manière que les segments AX, BY, XY soient dans le méme rapport que les lignes AD, BE et l’unilé de longueur.
Nous aurons AXE Tr AD, BYE, XV 7 &, u étant l’inclinaison inconnue de XY. En substituant ces valeurs dans l’équipollence
AX + XY + YB — AB, il vient r ADP 7 eERPAARRE —: AR:
Si lou mène DU équipollente à EB, cette relation prend la forme trinôme
BA pi PATTES D:
1028.) En comparant celle-ci à l'identité AV — VU = AU, elle nous indique de couper en V Ia droite AB par un
arc décrit du centre UÜ, et d’un rayon égal à l'unité de: longueur, après quoi l’on aura
AB
AV AD’ de telle sorte que BX sera parallèle à VD, et XY parallèle à VU — :*.
IL. Znscrire dans un cercle un quadrilatère XYZ, de manière que les trois côtés XY, YZ, ZT passent respectivement par les points À, B, C, et que le quatrième côté TX ait une longueur donnée.
Soit OH le rayon que nous prendrons pour origine des inclinaisons, et supposons les sommets du quadrilatère déterminés par les relations
OX—à#.OH, OY—ÿi.OH, 0Z—#.OH, OT—i.OH.
La condition pour que AXY soit une droite est donnée P Ï par l’équipollence
OA — ir, OH — p(OA — ir.OH).
Au moyen de sa conjuguée conjJOA — i-*, OH = p{(conjOA — i-7.OH ), on éliminera p, ce qui donnera
OA — i7.0H
(1) ee eue OH — i7,con]OA
On trouvera de mème
é OB — i:.0H . OC -- i,.OH D = —— ; % BE ————— — OH — %.con]OB OH — i'. con] OC
(ee) = =
(29) En désignant maintenant par 9 l'arc TX, on aura
(4) it — it On exécutera les substitutions de ces équipollences les unes dans les autres, en faisant les constructions suivantes :
OA. con]; OB OH
(5) AA, — — OB, HH, = — , après quoi l’équipollence (2) donnera, par la substitution dans (1),
Pas OA, + ë#.OH,
” conjOH, + #.conjOA,
JT
En combinant cette dernière avec (3), et posant
J OH,.0C | OA,.con] OC (. A, A: = —— HE = —— (6) | OH DHL on aura
dé. OA ia it. OH,
= conj OH, — 1‘.conjOA,
a CA
Substituant enfin la valeur (4), et faisant
N 2 OH .OW (7) OW = OH, + i°.conjOH;, OÙ — ———; con] OA on aura OR. OA, ie, OH + Pre." — OU.
con]0A;
Cette équipollence, comparée avec la relation OX + XU — OÙ,
nous apprend que le point X s’obtiendra en coupant le cercle donné par un autre cercle égal, ayant pour centre U.
Les équipollences (5), (6), (7) indiquent clairement la
(60 # construction qu'il faut faire. On mènera AA, équipollent à BO; on construira le triangle OAK inversement semblable à OHB, et l’on mènera HH, — KO; on formera les triangles OH,L,, directement semblable à OHC, et OA, K; inversement semblable au mème triangle OHC, et l’on mènera À, A, — OL,, H,H, — OK,. Soit la corde HT du cercle égale au côté TX du quadrilatère cherché. Menons OW perpendiculaire à cette ligne HI et ayant,
LA - L L2 I par conséquent, pour inclinaison — 9, et coupons-la de 2}
telle manière que H, W soit égal à OH. Enfin, ayant construit OWU inversement semblable à OA, H, la droite perpendiculaire sur le milieu de OÙ coupera le cercle donné au sommet X du quadrilatère cherché.
La direction du rayon OH est arbitraire. En la faisant coïncider avec OC, les triangles OHC, OH, L,, OA, K, se
réduisent à trois droites coupées proportionnellement.
