B«— AC

qui sert à déterminer pour chaque point de la surface les deux rayons de courbure principaux. Désignons par M le produit des inverses de ees rayons; l'équation précédente donnera facilement la valeur de M. On trouve immédiatement en effet

Or on a

M(^*-pv)=s;r-sv,«v/.

V = l]ypq

Vpq = Spq — p* j*

on aura donc

TVpq =pY-Spq ;

yi(pY — S/)g ) = SpqrSpgt — Spqs •

87. Pour montrer la signification géométrique de l'expression M, dont nous venons de calculer la valeur, nous appellerons, d'après Gauss, mesure de la courbure de la surface en un de ses points, le rapport de l'angle solide formé par les parallèles aux diverses normales menées le long d'une courbe infiniment petite enveloppant le point et de l'aire compiîse par cette courbe sur la surface; ou encore, ce qui revient au même, si on mène des parallèles à ces normales par le centre d'une sphère de rayon égal à l'unité, nous appellerons mesure de la courbure au point considéré la limite du rapport de l'aire formée sur la spbère à celle tracée sur la surface.

D'après celle définition, pour trouver l'expression générale de celte mesure, considérons trois points infiniment voisins de la surface, savoir ceux qui sont définis par les trois vecteurs

p, p + pdu, p + gdv,

les normales correspondant à ces trois points auront respectivement pour

direction

^P9f V(p + rdu] [g + sdu), Y{p + $dv) [q + tdv) ou

Vpy, ypq'\'duy[ps'\-rq] et Vpj + dt;V(pf-}-sy);

l'aire déterminée sur la sphère de rayon égal à Tunité par ces trois directions sera

dudv

TWpq

Or i*aire comprise sar la surface par les trois premiers vectears sera

dudvTYpq.

Donc le rapport cherché aura pour expression

ypq \ /

d'où Ton tire par Tapplication de la formule (71)

^ypq.V{p8+rq).\(pt'\'8q)] ^ SpqrSpqt — g ^ ^

ypq' ypq'

en désignant par M , comme précédemment , le produit des inverses des rayons de courbure principaux de la surface au point considéré.

88. Nous venons de trouver deux expressions algébriques de forme différente pour cette même valeur de M dont la signification géométrique est si nette; mais en appliquant la formule du n* 70, on peut encore mettre M sous une nouvelle forme découverte par Gauss et qu'il est utile de considérer. On aura ainsi

ypq^M = SpqrSpqt — Spqs^ =(«" — SrO(pV — Sp?*)

— Spq(SprSqt + SptSqr — 2SpiSç<)

— p*(Sîi* — SçrSy/) — 4^!^ — BprSpl).

Or on a

rfp» =s {pdu 4- qdvy = p"dii* + 98pq . (ffnft; + q^dv^y

et comme le second membre est un trinôme algébrique dont les coeffi* cients s'expriment algébriquement au moyen des variables u et v^ posons, avec Gauss,

E = — p*, F = — Spq et G = — j».

Tous les produits algébriques qui entrent dans le second membre de réqnation précédente sont exprimables au moyen des dérivées partielles des trois fonctions E , F et G ; en effet, on obtient immédiatement par la différenciation

idE i dG

dF i dG dF î dE

Remarquons qa'on a de plas

dv du dudv*'

DiflEérenciant (1 ) par rapport & o et (2) par rapport à », il viendra

„ rf« , , id*E ^fdi-^'^-ïd^'

„ dl , . dV , id*G

On tire de ces deax éqaatîons, en les retranchant Tane de l'antre membre à membre,

, „ , d*F ^d^E 4 rfHJ diuiv 2 dv* S (fti* '

Si Ton différencie de même (3) par rapport à u et (i) par rapport à Vy et qu*on retranche les équations obtenues membre à membre, en observant qu'on a

dr ds ^ d*f

dv du "" dvdu*'

OD retombera encore sur la formule précédente. Substituons mainteoant dans le second membre de la formule qui donne M, les produits algébriques que nous venons d'exprimer en fonction des dérivées partielles des coefficients de £, Fet G, et nous retrouverons la formule suivante de Gause

^ \\2 du) "^ 2 dt; \2 dv du)) \\^dv) '^^du \2dtt dv))

"*" Udttdr + \2dv du)\idu dv) ï dv ^ ''

dG\

du)'

80. On déduit immédiatement de celte équation ce remarquable théorème : pour qu'une surface courbe puisse être appliquée complètement sur une autre, il faut que les deux surfaces aient la même mesure de courbure dans les points correspondants.

Comme pour une surface plane, cette mesure est nulle en chaque point, il s^ensuit qu'il faut, pour qu'une surface courbe soit applicable sur un plan, qu'elle ait en chacun de ces points un rayon de courbure principal infini , et par suite, que l'un des systèmes de ses lignes de courbure soit composé de lignes droites.

90. Proposons-nous maintenant de trouver l'équation de la ligne la plus courte qu'on puisse tracer sur une surface donnée entre deux de ses points, ou entre deux lignes données de la même surface, en faisant encore usage, à cet effet, du calcul actuel.

Observons que la longueur $ d'une courbe quelconque peut être représentée par la formule

= S Trfp-

Pour que cette longueur soit minimum, il faudra que la variation is soit nulle. Or on a, conformément aux règles du calcul des variations,

On a de plus (31)

Wdp = — SMp . Udp = — Sdîp . Wp ;

— cala variation précédente deviendra donc, en intégrant par partie,

8« = fsSpUrfpl^' + Ç^'SSp.dlWp.

en désignant par p^ et p, les limites variables ou constantes entre lesquelles rintégration doit être effectuée. Celle équation montre que, pour que is soit nul, il faut qu'aux deux extrémités de la ligne cherchée Télément dp soit perpendiculaire aux lignes données comme limites, et de plus qu'en tous les points de la ligne minimum, dUdp soit parallèle à la normale à la surface; et comme dVdp a (74) la direction du rayon de courbure de la courbe cherchée, il s'ensuit que cette ligne minimum, qu'on appelle encore ligne géodésiquej jouit de la propriété caractéristique d'avoir en tous ses points son rayon de courbure dirigé suivant la normale, ou, ce qui revient au même, son plan osculateur normal à la surface.

91. Supposons qu'on ait tracé sur une surface une infinité de lignes géodésiques, très-rapprochées l'une de l'autre, puis qu'on coupe toutes ces lignes par une trajectoire curviligne quelconque. Si on porte sur toutes les géodésiques , à partir de cette trajectoire considérée comme fixe, des longueurs égales et qu'on joigne les extrémités ainsi obtenues, on formera un second système de lignes courbes sur la même surface. Appelons (U) le système formé par les lignes géodésiques et (V) celui qui est formé par les lignes que nous venons de définir; prenons pour variables indépendantes de la surface, la longueur u d'une ligne géodésique du premier système comptée à partir de la ligne fixe, et la variable v, dont les diverses valeurs caractérisent sans ambiguïté chacune des lignes géodésiques du premier système, en sorte que la différentielle partielle j-dv

détermine toujours l'élément de chaque courbe du second système, compris entre les lignes (v) et (v+dv) du premier. D'après la propriété des lignes géodésiques que nous venons de démontrer,

du*

exprimera pour tons les points de la surface une direction parallèle à la normale ; on aura de plus

Aioai

par suite od aura

dudv du 2 dv \du/ * — 8 ^ ^ = 8 ^ ^ + S î^ -^ = 0.

du du dv du* dv du dudv

et en intégrant, il vient

le second membre étant une fonction de la seule variable v et ne dépendant pas de u; si Ton désigne pas i*angle variable que fait une quelconque des lignes du second système avec une même ligne da premier, et par ds

l'élément -p dv compris entre deux lignes (y) et v+$v du premier, comme dv

— =U^, on voit que l'équation précédente revient à la suivante du du

ds cos^ = f{v)dv ;

elle montre que la projection de l'élément ds d'une courbe du second système sur l'une quelconque des lignes du premier entre lesquelles cet élément est compris est toujours le même, quelle que soit la ligne considérée du second système. Par suite, si ces deux lignes du premier système avaient pour origine commune un même point de la trajectoire fixe correspondant à ii=:0, auquel cas, pour cette valeur particulière de u, ds serait nul, le produit ds. cosO serait partout nul, entre les lignes considérées, et par suite toutes les lignes du second système les couperont orthogonalement en tous leurs points ; de même si les deux lignes du premier système qui comprennent l'élément ds sont perpendiculaires à la ligne du second

qui correspond à «=0, auquel cas, pour cette valeur de m,9=- , le pro-

duit (/«cosO sera encore partout nul et toutes les lignes du second système couperont à angle droit celles du premier qui jouiront de la propriété

énoncée. D'où on conclut d'abord un théorème inoportant dû à Gansa qoe nous énoncerons ainsi : un système de lignes géodésiques tracées sur une surface sera coupé orihogonalement par un autre système de lignes courbes, si toutes les lignes géodésiques passent par un même point de la surface, et que toutes les lignes du second interceptent sur celle du premier des longueurs égales à partir du point où les premières se croisent. Le même théorème a encore lieu si les lignes géodésiques du premier système sont toutes perpendiculaires à une ligne du second, et que toutes les autres lignes de ce dernier système interceptent sur celles du premier des longueurs égales. On voit de plus que si Ton donne un système quelconque de lignes géodésiques sur une surface et qu'on en détermine une seule trajectoire orthogonale , toutes les autres trajectoires orthogonales des mômes géodésiques intercepteront sur ces lignes, à partir de la première, des longueurs égales. Dans le cas où les géodésiques seraient tangentes successivement à une même courbe quelconque tracée sur la surface, il suffirait, pour obtenir une trajectoire orthogonale de ces tangentes, de former, comme sur le plan, la développante de cette courbe sur la surface, et cette ligne couperait orihogonalement toutes les géodésiques et déterminerait par suite toutes leurs autres trajectoires orthogonales. De là résultent divers moyens de partager une surface par deux systèmes de lignes orthogonales, distinctes des lignes de courbure de la surface, lesquelles jouisseut, comme nous Tavons vu (83), de la même propriété.

92. Revenant aux propriétés générales des lignes géodésiques, proposons-nous de trouver sur une surface quelconque Téquation de ces lignes, en supposant que chaque point de celte surface soit déterminé par un système de valeurs attribuées à deux variables indépendantes u et v. Appelons 6 l'angle variable que fait une même géodésique avec chaque ligne du premier système (U). Nous aurons en premier lieu, en conservant les notations précédentes,

Splpdu'\'qdv)

cos = — «• • — •

^' Tpipdu + qdv)'

(et

ginO = TV/>(/H/« + grfp) ^ TVpq.dv

Tf(pdu 4- qdv) Tp{pdu + qdv) '

d'où l'on lire en divisant membre à membre les équations

^ ' sine ^^ TWpq TY pq dv

Celte équation fera connaître 6 , qnand on aura déterminé quelle est la fonction de v qui exprime u dans le cas de la ligne considère sur la surface. Or on peut trouver une seconde équation différentielle assez simple de la ligne géodésique, en cherchant Texpression de dd, en fonction de u et de v; et en éliminant entre cette nouvelle équation et la précédente, on obtiendrait Téquation cherchée de cette ligne. Voici comment on peut procéder pour obtenir cette équation différentielle. On a

ces = — SUpUe/p, et en différenciant

siD We = dSVpVdp = SrfUp . Urfp + BVpdVdp.

Or d'après la propriété des lignes géodésiques que nous avons démontrée plus haut (90) dUdp ayant la direction de la normale sera perpendiculaire a Up , SUpcfUdp sera donc nul, et on aura (31)

Tp Tp

Or on a

V(Up.Udp) = |Î^Vp,,

donc

93. Cette équation importante aurait pu être immédiatement obtenue, en remarquant qu'on peut considérer Tangle (/9, en négligeant les infiniment petits du second ordre, comme égal à l'angle que font les deux tangentes menées à deux courbes consécutives du premier système (U), par les extrémités d'un élément de la géodésique compris entre elles. En effet, les deux tangentes consécutives a la géodésique étant dans un plan normal à la surface, elles feront toutes deux le même angle avec chacune des lignes (p) ou (p rf- dp)y et les deux angles formés par une même tangente à la

géodésique avec ces deax dernières étant situés dans deux plans tangents à la surface infiniment peu inclinés Tun sur Tautre , la différence de ces deux angles sera égale à Tangle infiniment petit formé par les deux lignes (f ) et (p + <^) ; or ce dernier angle a pour expression

[Typ{p + dp) ^ TWpdp Tp Tp^

et comme le vecteur Yp. dp fait un angle infiniment petit avec la direction UVpqr de la normale, Tangle précédent équivaudra à

S(UVpg . \pdp) ^ S(Vpq . Vpdp) Tp* TpTWpq

ce qui est précisément la valeur de dB écrite plus haut (2). Cette expression de (f9 est susceptible d^ôtre transformée en appliquant la formule du n* 61 ; elle devient ainsi

et si Ton fait usage des relations établies au n* 88, savoir :

E = -p«, F = -Sp?, G = -q% T\pq=)/EG — ¥*, i dE ^ i dE o 1 rfG e rfP . 1 rfE

^'^=-i*r' ^^=-55?' ^'=-25ir' ^'"=-5i+âAr'

la formule (2) deviendra

^ ' ^ ^Edu ^S^Edv ^Idv dv ^du

9â« Cette dernière formule se simplifie notablement quand on emploie pour variables u et v celles qui correspondent à deux systèmes de courbes orthogonales, telles que les lignes de courbure de la surface, ou les géode*

siqitcs de la Borfaoe israies d^oo môaie point, et leurs trajectoires ortbo* gonales. On a alors

et réqoatioD précédente (3) deviendra

i — \ dE i dG

Supposons, poQF donner une application de cette formule, qu^on ait pour une surface particulière et pour deux systèmes convenables de trajectoires orthogonales

f et 4; étant des fonctions bien déterminées et quelconques , Téquation précédente deviendra

(4) Wd^ = '^'v.du^fifu.dv.

On aura déplus, par Téquation (i) du numéro 92,

ootgO = ^ ou cos0.£/t;=:sin6.c/ti.

Multipliant donc Téquation (4) par sin 9 cos S, et faisant passer tous les termes dans le premier membre , on pourra la mettre sous la forme

«piid(8in 0*) + sin'Ocp'fi . du — ^ (cos*6) — cos*^^vdv = 0.

Cette dernière donng par ane intégration immédiate

8in*0 . (ptf — cos^û . 4^ = const.

G*est de cette manière qu^on peut obtenir une première intégrale de la ligne géodésique de Tellipsoïde.

95. Dans le cas où nous prendrions pour les deux systèmes de courbes» les géodésiqnes issues d*un même point de la surface et leurs trar jectoires orthogonales , en désignant par ti la longueur des géodésiques

comprises entre ce point et ane même ligne da second système, on aura (^\ = p=\Jp, tfoùTon déduit

dE E = — p» = l et 3- = 0.

Par soite Téqaation (3) correspondant à une ligne géodésiqne quelconque de la surface, deviendra, dans ce système de coordonnées,

^ %du

Posons T9 =1», m étant une fonction déterminée de u et de v, on aura

y^ • ^ dCr dm

G = m* et -T- = 2m-r-,

du du

et Téquation précédente se mettra sous la forme très*simple

De même la valeur de M, qui mesure la courbore de la surface, et dont Texpression complète se trouve au n* 88, sera donnée^ dans le système actuel, par l'équation

ou encore par la suivante, obtenue en remplaçant dans celle-ci 6 par m\ . dG dm ^,d'G /dm\' • (Cm

„ i dhn

mdtt*

96. On déduit de là, par la méthode même de Gauss, la courbure totale du triangle curviligne ABC formé sur une surface par trois lignes géodésiqaes quelconques, c'est-à-dire la surface de la figure qui corres-

pond à ce triangle snr la sphère de rayon égal à Tanité. Pour cela, pre* nons le sommet A pour origine de toutes les lignes géodésiqaes du premier système (U); supposons que la ligne AB soit la première ligne de ce système, c'est-à-dire celle qui répond à i; = 0, et que le troisième sommet C soit pris sur une ligne géodésique (U) quelconque faisant avec la première un angle que nous appellerons A. Les deux autres angles B et C du triangle ABC formés par Tintersection de la ligne géodésique BC avec les deux premières détermineront deux angles analogues à ceux que nous avons désignés précédemment par la lettre 6. Soient 6« et 0, les valeurs de correspondant à ces deux angles, on aura

B = n — e« et C = Oj.

Cela posé , la courbure totale du triangle ABC sera égale à l'intégrale double

dans laquelle l'élément d<ù représente la valeur absolue de l'élément de la surface, et M la mesure de la courbure de ce point. Or on a, d'après la formule précédente,

m du*

et, d'autre part, *

diù = TWpqdudv = mdudv.

l'intégrale à déterminer est donc

jMdco^-JJ^rfudl,.

Intégrons d'abord par rapport à ii, il viendra

(const.-^).

dv 1 const

Pour déterminer la constante, voyons ce que devient la courbure pour

ti= 0; Tédément de ka courbe da second système, lorsciae u est très-petit, se coD fondant avec un élément de cercle, sera égal à

udVf

on désignant par v Tangle variable formé par tes lignée géodésiqoes du premier système avec la première AB, qui sert à définir toutes ces lignes. On aura donc dmis le voisinage du point A

m:=:u et -7— = 1.

Or pour ti=0 la courbure devenant nulle quelle que soit la valeur de v, il faut que la constante introduite par l'intégration précédente soit égale à 1. Ainsi la courbure totale correspondant à la portion de surface comprise entre deux lignes géodésiquesinfinimeni voisines, (v) et {v + dv) sera

dvli ^^^

mais on a, par le numéro 95,

j^ dm -

iW = — -5- *.

L'expression précédente est donc égale à

et en intégrant depuis i; = jusqu'à c^ = A, on obtiendra

c'est-à-dire que l'expression cherebée -de la courbure totale du triangle curviligne ABC équivaut à Taire d^un trtangte sphérique dont les côtés feraient entre eux précisément les trois angles A, B, C des lignes géodésiques considérées, ce qui est le beau théorème de Oanss.

97. Nous terminerons cette étude, sans doute bien incomplète, sur les applications géométriques du calcul des quaternions par la recherche des propriétés de la courbe qui, ayant un périmètre donné, comprend sur une surface une aire maximum.

Soft (ôDJonre p le vecteur variable da point de 1â courbe cherchée et dp rélément de cette courbe, et convenons de désigner par dp Téléinent arbitraire suivant lequel chaque point de cette courbe se déplacera sur la surface, lorsqu'on la déformera infiniment peu. Cela posé, la variation de Taire correspondant à cette déformation aura évidemment pour expression rintégrale simple

dans laquelle à chaque valeur de Télément dp correspond une vafeur de dp 9 et où V désigne encore la direction variable de la normale à la surface. La variation de la longueur de la courbe sera donnée par celle de Tinlégrale

jTrfp, et sera par suite

\ STrf|> = — J SMpOrfp = (SîpUrfp) + [ 8{rfUrfp . 8p). •

La condition imposée à la courbe d'être fermée annule évidemment le terme hors du signe $, et Ton aura, en appliquant la règle connue d'EuIer,

Ç8(vrfp + ûrfUdp)ep = 0,

en désignant par a une constante particulière. Il faut tlonc , pour que cette intégrale soit nulle, quelle que soit la loi de la variation Sp^ que le vecteur

Vvrfp + adVdp

soit toujours perpendiculaire à dp, et comme ce dernier élément est toujours placé sur la surface d'une manière quelconque, le vecteur précédent doit être parallèle à la normale v, oe qui donne immédiatement

V(vVvrfp + avdUrfp) = 0,

ou à cause de y' = — i

dp = aVvrfUrfp, ,

ce qui est Téquation différentielle de la courbe cherchée; elle est susceptible d'être interprétée géométriquement d'une manière bien simple. En eliet, dVdp exprime la direction du rayon de courbure de la courbe , et en

désignant par ds rélémait de eette courbe et par R son rayon de courbure, on a (74)

Si donc on appelle 9 Tangle que Tait le rayon de courbure de la courbe avec le plan tangent, ou, ce qui revient au même, Tangle que fait le plan osculateur de la coprbe avec le plan tangent à la surface, TéquatioD différentielle précédente donnera, en divisant les deux ftietebres par ds.

1 = — - — ou R =t a ces 0.

On voit donc, par cette dernière équation, que la courbe cherchée jouit de Ja propriété d'avoir en tous ses poiqts un rayon da coqr-

bure proportionnel )biu cosinus de l^angla q.ue fbiK entre eux le plan osculateur de la courbe et le plan tangent à la surface, ce qui revient à dire quç- si Ton prend sur une perpendiculaire à la tangente à la courbe, menée dans le plan tangent une longueur constante (égale à a), et qu'ûft décrive une sphère ayant pour rayon cette longueur, elle déter-

minera par son interaeclion avec le plan osculateur le cercle osculateur même de la courbé.

98. Remarquons que si Ton désigne ptr l le vecteur variable mené au centre de cette sphère, on aura

{ = p -f-oUrfp.v;

d'où l'on tire en différenciant

di = dp + aV(dVdp.y) + ûV(U£/p.rfv)

et à cause de l'équation différentielle mém^ de la courbe

^1 vient

dp H- aV(rfUrfpv) = 0,

rf5 = ay(Urfp.dv).

Or dv et Ucfp sont deux vecteurs perpendiculaires à la normale v, donc dli est paralèlle à celte normale. On voit donc qye ii Ton circonserit à la sur-

face proposée une surface développable le loog dt la courbe d'aire maximum et de périmètre donné, et qu'on développe ensuite cette surface sur un plan, les divers centres des sphères précédentes seront àodeaés à coïncider avec un même point du plan, et la courbe s'appliquera sur un cercle dont le rayon est égal à celui des sphères précédentes ou à la constante a,

Vu et approuvé :

Le Doyen ^ MiLNË EDWARDS.

Le 15 joiliet 1863.

Permis d'imprimer :

l^ Vice-Recteur,

i MOURIER.