B«— AC

et par suite l'équation différentielle de chacune des lignes de courbure sera

dv B dv A

^ — — ^ ou 5j; — — g,

l'une et l'autre des deux lignes étant obtenues en remplaçant successivement dans les seconds membres R par ses deux valeurs tirées de l'équation du second degré précédente.

82. On peut aussi trouver l'équation des lignes de courbure en éliminant R^ entre les équations

du B S/?g . R"* *^ Sv3 A; A Svr— p'.R-^*

du'^ C^ Sv^— Î*.R-* ^ du~ B"*"Si>j.R-* — Sv«'

Ce qui donne, en égalant les deux valeurs de R*~^ qu'on en tire

dv . ^ ^ ^dv , ^

jj^^.__ du^ du^

dv ^ dt; . » '

d*où Ton déduit Téquation suivante, en remplaçant y par Npq :

(Sp^pqt^q'Spqs) (^^' +(p'Spqt-q'Spqr)^ + p^Spqs ^ 8pqSpqr =

qu'on peut aussi mettre sous la forme plus symétrique

{p*Spgs — SpqSpqr)u'* + {p'Spqt — q*Spqr)u'v + (SpqSpqt — ^"Spjs)»'* = 0,

ce qui est l'équation générale des lignes de courbure sur une surface quelconque.

83. On peut vérifier facilement au moyen de cette équation que les

, deux lignes dififérentes de chaque système qui passent par un même point

se coupent toujours à angle droit. En efifet, désignons par (^^ et cp, les deux

valeurs de — tirées de Téquation précédente pour un point déterminé de

la surface et formons l'expression

Remarquons ensuite qu'on a, d'après l'équation précédente,

?1 + ?1 — g^Jg^^ ^,g^^

et

p*Svs — SjOÇ'Svr

"^""^^ ~ SpqSy^t — ^*Sv5'

On aura donc

ç,..' ^ /^ . , p'[SpqS^t-q'S^8)+Spq{q'S^r^p'S^t)+q'{p*8vs^Spifi^r) S(p+ÎTt) (;>+??.) SpqS.t-q^8.s ^ '

Le numérateur du second membre étant identiquement nul , on voit que les deux éléments des lignes de courbure qui passent au point considéré et dont les directions sont respectivement p + fcp^ et p +9^ , sont perpendiculaires entre eux.

8fii. On peut encore mettre l'équation des lignes de courbure sous une autre forme très-simple. En efifet, on a

Sv(rdtt + sdv)S^l[pdu + qdv) = 8v(«rftt + tdv)8p(jKlu + gdv).

Or chacun des membres de cette équation peut se transformer, en re* marquant que pdu+qdv:=dp et que y est perpendiculaire à pet à f. On a ainsi (n"" 61)

Sv(rdtt + $dv)Sqdp = sh^dp . \q(rdu + 8dv)\ et

Sv(«dtt + tdv)8pdp = s(Vvrfp . \p(8du + tdv)\ .

Or on a aussi

dWpq = \p{sdu + tdv) + \(rdu + dv)q = vdTVpq + d^TMpq.

Donc réquation précédente peut se mettre sous la forme

S(Vvrfp.rfV/>î) = Svrfpdv = G,

qui montre que les directions de deux normales consécutives y ety + c(v aoBt toujours le long d'une même ligne de courbure, dans un môme plan, avec Télément dp de cette ligne, et par suite, se rencontrent toujours.

En partant de cette propriété, qui caractérise les lignes de courbure d'une surface, et par suite de Téquation différentielle précédente qui y correspond, et en refaisant un calcul inverse de celui que nous venons de faire, on retrouvera évidemment tous les résultats que nous avions obtenus tout d'abord.

85. Parmi les applications immédiates qu'on peut faire de l'équation

Svdvdp = 0,

nous remarquerons ce théorème connu. Si deux surfaces se rencontrent suivant une de leurs lignes de courbure, elles se coupent partout suivant le même angle. En effet, en désignant par y et v les normales aux deux surfaces en l'un de leurs points communs, on aura à la fois

Svrfvdp = Sv'dv'rfp = 0.

Or, cfUy situé dans le plan qui contient v et y + c/y, et qui est perpendiculaire à Uy (31) sera parallèle à c/p, et par suite, perpendiculaire à Uv', de même cdJy' sera perpendiculaire à Uy. On a donc

SrfUvUv' = et

SUvdUv' = 0,

et par suite

dSUvUv' = 0,

D'où ToD tire, en inlégrant,

SUvUv' = constante.

Ce qu'il fallait démontrer. On voit aussi que réciproquement si deux surfaces se coupent suivant un angle constant, et que la ligne d'intersection soit une des lignes de courbure de l'une des surfaces, elle sera aussi une ligne de courbure de Tautre.