INTRODUCTION

Je me suis proposé d'examiner^ dans cet essaie les principes d'un nouveau genre d'analyse^ imaginé par FiUustre astronome irlandais M. W. Hamilton^ et nommé par lui le calcul des guater^ nions. L'idée de ce travail^ dont l'origine est déjà un peu ancienne^ m'a été suggérée par l'étude du dernier ouvrage de cet auteur : Lectures au guaternions (Dublin^ 4855)^ dans lequel se trouvent résumés la plupart des travaux antérieurs publiés par lui sur ce sujet. Comme les applications de cette théorie sont susceptibles d'une grande extension et embrassent^ pour ainsi dire^ toutes les branches de l'analyse^ je me sais contenté de l'appliquer ici à quelques questions géométriques^ qui suffisent pour montrer l'esprit de la méthode. Il y a un certain intérêt à retrouver ainsi^ par la seule force de ce nouveau calcul^ des réoiUats connus ; et cet exercice ne me semble pas^ comme on pourrait le craindre^ sans utilité pour la science, qui gagne

toujours^ on le sait^ an rapprochement qui se fait naturellement entre des méthodes différentes employées vers nn même but.

Le calcul des quaternions présente une belle et curieuse extension à l'étendue à trois dimensions d'une représentation géométrique des expressions imaginaires^ par des droites situées dans un même plan^ dont on s'est beaucoup occupé dans ces derniers temps. Mais on peut aussi le concevoir comme une application particulière d'un autre plus général que j'appellerai le calcul des symboles et qui consiste à introduire dans l'analyse les symboles comme de véritables quantités^ sous la condition de ne pas faire varier l'ordre dans lequel ils se présentent comme ^facteurs d'un produit. On les fait ensuite disparaître du calcul à Taide d'un système de substitutions convenablement choisies qui ne laissent apercevoir en dernier lieu que des relations entre des quantités ordinaires. C'est ainsi que^ dès l'origine du calcul différentiel^ on a imaginé de considérer dans certains cas le signe des différences comme un facteur symbolique^ et qu'on a été conduit ainsi à des formules très-remarquables do&t M. Cauchy a beaucoup étendu remploi, le présente ici sons ce point de vue la théorie du calcut de M. Hamiltoo^ dont j'ai cru devoir^ en raison de ^ nouveauté^ reprendre entiè* rement l'exposition. Je l'ai fait d'ailleurs très-succinctement^ en supprimant tmites les considérations philosophiques ingénieuses et intéressantes qui s'y rattachent^ et pour lesquettes je ne puis mieux faire que de renvoyer aux écrits de l'iaventeur.

Je <^rois cependant avoir montré iont ce qui se rapporte d^ene manière essentielle à ce calcul^ et j'ai conservé scmpuleusem^it

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toutes les notations introduites par M. Hamilton dans son dernier ouvrage.

Ce mémoire est partagé en trois sections.

La première contient l'exposition des règles du calcul des quaternions.

Dans la seconde je fais connaître, d'après M. Hamilton, Tinterprétation géométrique remarquable que reçoivent les symboles employés. Cette section est terminée par Texamen d'un grand nombre d'identités utiles à connaître, à cause de leur emploi fréquent dans toute l'analyse, et qui se rattachent aussi en quelques points à la théorie des déterminants du second et du troisième ordre.

La troisième et dernière section est consacrée aux applications du nouveau calcul à quelques points de la théorie générale des lignes et des surfaces courbes.