DES RÈGLES PRINCIPALES DU CALCDL DES QUATERNIONS

1. Nous désignerons par t, j et k, trois symboles particuliers dont nous ferons constamment usage et dont nous fixerons plus loin le sens et les diverses transformations* En les considérant d'abord comme de simples quantités algébriques, on pourrait former avec eux des polynômes dont le plus simple est évidemment celui qui serait linéaire par rapport aux symboles et dont la forme générale est

OÙ Qy b, ceid désignent des quantités algébriques quelconques indépendantes des symboles t, j et k.

Ce quadrinome fondamental et irréductible p est ce que nous appellerons désormais un quatemion^ sous la réserve des conventions particulières relatives aux symboles que nous ferons bientôt connaître.

2. Le premier terme a du polynôme précédent constitue ce que nous appellerons la partie algébrique du quaternion. Nous le désignerons sou-vent, pour abréger, parla caractéristique spéciale S placée devant le qua* ternion complet, en sorte qu'on aura

Sp=:a.

Lorsqu'on retranche du quaternion cette partie, il se réduit à un trinome entièrement symbolique qui constitue ce que nous appellerons

la partie symbolique de c^ quaternion, que nous désignerons aussi doréna*

vant par la caractéristique spéciale Y, placée devant le qaateraiofi comH plet, en sorte qu'on aura

et par suite

p=Sp + yp.

Nous appellerons les quatres termes irréductibles, a, 6i, cj et dk^ les partie» constituantes du quaternion.

3* Nous conviendrous que deux quateruions ne peuvent être égaux que s'ils sont composés identiquement des mêmes parties constituantes, et bien qu'on ne puisse encore attacher aucune idée précise de grandeur à l'expression d'un quaternion, tel qu'il vient d'être défini, on conçoit facilement que les règles du calcul algébrique relatives à l'addition et à la soustraction sont applicables à des polynômes de cette espèce et donnent toujours comme résultat un autre polynôme de même forme. Ainsi en désignant par p et 9 deux quaternions définis par les égalités

on aura

p±:q = {a±:a!) + [b±by + [c±c')j + {d±:d')k.

On opérerait de même dans le cas où on aurait à combiner entre eux, par voie d'addition et de soustractiou, un nombre quelconque de quaternions.

4. Ëtadions maintenant et tout d'abord le cas de la multiplication de deux quaternions, qui va être pour nons Toccasion de faire connaître le» règles fondamentales et de poser les bases du calcul actaeU Si l'on effectue la multiplication des deux quaternions précédents 'p et </, d'après la règle ordinaire et en se bornant à prendre la précaution de ne pas intervertir Tordre dans lequel les symbole» se présentent comme facteurs, nous obtiendrions les deux identités suivantes, dont les seconds membres sont du second degré par rapport aux symboles

pq^= ad

-\-(a(f+ed)j

+ (arf' + rfa')A