Supposons maintenant qu'on ait le second quaternion

p' = a' + m{bi + cj+dk)

satisfaisant à la condition

Vp' = mVp,

m étant une quantité algébrique ou numérique quelconque. L*angle principal 0' de ce quaternion sera donné par la formule

— la —

et ToD aara

jl = Tp' j cos B' -j- sin 0' |co8 çi + sin <p cos 47' + sin <p sin ^^\\

les angles directears du quaternion p' étant les mômes qae œux de p. Le produit des deax: quaternions p et p' jouit de la propriété de ne pas changer de valeur lorqu'on change Tordre des facteurs, et conserve encore la môme forme que les précédents, c'est-à-dire les mômes éléments directeurs; il est donné parla formule remarquable

p^ = Tp (cos 6 + sin 6 [a]^ T/ (cos 6' + sin 6' [aA = TpTp' (cos (6 + 6')

+ sin (e + 6') [a]^

dans laquelle nous représentons pour abréger par [a] le trinôme symbo-*

lique

cos (pi -|- sin (p cos ^j -f- sin f sin ^k

que nous appellerons aussi le trinôme directeur du quaternion.

Cette formule s'obtient facilement au moyen de celle du n"" 5 qui donne le produit pq. En posant en effet, dans cette dernière, .

il viendra

et

cos 6

: sin cos 9 : sin 6 sin <p cos 4^ : sin sin cp sin à oosO'

sin ^ cos <p sin O' sin f cos t|/

sin ^ sin <p sin ^

Spq = cos cos 0' — sin 6 sin 6' = cos (d -j- 6') •

Vpg =(cos 6 sin 0' -|- <^^ ^ sin 6) cos <pt

+ (cos sin ^ 4" <^s ^ siii ^ ) sin 7 cos 47

+ (ces 6 sin O' + cos 6' sin 6 j sin <p sin 4^^ s=sin(6 + e')W.

Oa aura donc

/>j = cos (6 + 6') + sin (6 + e*) [«]

et par suite l'expression précédente du produit pp'.

22. Cette formule nous permet d'exprimer toutes les puissances d'un quaternion, quelle que soit la valeur de l'exposant ; la marche à suivre sera identique à celle qui sert à établir la formule de Moivre, et l'on aura à faire la même discussion sur les valeurs multiples des radicaux. Le

symbole [a] jouera ici le rôle de y^^ dans l'analyse ordinaire et nous obtiendrons ainsi la formule générale

p* = (T/))* I CCS m6 -)- sin mô [tt] | ,

9 désignant l'angle principal du quaternion p mis sous la forme

j5 = a + 6i + 9 + dk = Tp(cos8 + sin [a]), en posant

tgO= ^ \ ^ et [«]= . , =(bt + çj'^dk).

23. Après avoir examiné les diverses fonctions élémentaires qu'on peut former avec les quaternions, il nous reste à voir comment il est possible d'exprimer et de définir les fonctions transcendantes. La méthode la plus simple à cet effet me parait être celle qui repose sur la considération des séries convergentes. Pour en donner une idée, nous l'appliquerons à l'étude de la fonction exponentielle e", où e représente comme à l'ordinaire la base des logarithmes népériens et p un quaternion quelconque. Dans le cas où p se réduit à une quantité purement algébrique, on sait qu'on a

e' = l+5 + -^ + --^ + etc.

en prenant dans le second membre un nombre illimité de termes ou plutôt la limite vers laquelle tend cette série. Convenons qu'on mette au lieu de la quantité précédente un quaternion p, le second membre représentera une fonction transcendante de p que nous désignerons encore par la même notation ^ et que nous appellerons \a fonction exponentielle de p.

Il est facile de s^assurer d* ailleurs que la série reste encore convergente et que la fonction é est bien définie. Car soit, comme plus haut,

p = a + Al + ç/ + rf*=T/) (cosô + sîn 6 [a]),

la substitution de p dans la série donnera le même résultat que si Ton remplaçait p par la quantité algébrique imaginaire

iPp (cos e + 8in e \/^),

d'où il résulte que si Ton pose

lC = Tp8ine,

X désignant un nouvel angle, on aura

g*+*i^>« = €^ = esp (cos X + sin X [o]).

Telle est donc Texpressiou fort simple à laquelle on peut toujours ramener la fonction exponentielle. Elle se réduit, comme on voit, à un quaternion, ayant pour module l'exponentielle de la partie réelle du quaternion donné p, pour angle principal Tangle x défini ci-dessus et ses deux autres angles directeurs égaux à ceux du même quaternion p.

2{i« Voyons maintenant à quoi se réduit la fonction inverse de la pré* cédente. Pour cela remarquons qu'on a

en représentant par q le quaternion équivalent à Texponentielle e"; d'où il résulte que si Ton appelle par analogie logarithme de q le quaternion p qui satisfait à l'équation précédente , dans laquelle on considère q comme donné, et qu'on désigne par la notation p=logf ce logarithme, on aura

k étant un nombre entier positif ou négatif quelconque et ir le rapport de la circonférence au diamètre. On voit de plus que Sp=Slogç et que l'angle x est égal à un multiple pair de tt près à l'angle du quaternion q.

25. Oç conçoit que l'analogie qui existe entre le symbole [a] et l'imaginaire y/ — 1 peut être poussée beaucoup plus loin. Supposons, en effet,

qu'on puisse définir sans ambiguïté, par un simple développement en série convergente dont les termes soient ordonnés par rapport aux diverses puissances entières de z, une fonction quelconque F(z) de la variable imaginaire z, dételle sorte qu'on ait

F(z) = Ao + Aiz4-A,z* +

les coefficients A^, A^, A,... A., A, étant des quantités quelconques entièrement indépendantes de z , on aura le même développement en remplaçant z par un quateruion q et l'imaginaire y/— T qui entre dans z par le symbole \a\. D'où il résulte que tous les beaux développements suivant les sinus et les cosinus d'un même arc qu'on rencontre fréquemment dans la physique mathématique et la mécanique céleste peuvent être étendus et appliqués au calcul des quaternions. Je n'insisterai pas pour le moment sur cette remarque dont on comprendra sans peine toute l'importance, et je me contenterai seulement d'en faire l'application à la célèbre formule du binôme de Newton.

26. On sait, d'après un beau théorème de Cauchy, que la puissance (1 +zf est toujours, quel que soit l'exposant m, développable par la formule de Mac-Laurin en une série convergente ordonnée par rapport aux puissances croissantes de la variable imaginaire z, tant que le module de z est inférieur à l'unité. On a donc, sous cette condition,

le secood membre étant une série illimitée , quand on suppose , comme nous U faisons ici, que l'exposant m n'est pas on entier positif. Remplaçons maintenant z dans cette formule par un quaternion quelconque p dont le module Tp soit inférieur à l'unité et dont la partie symbolique, qui dépend uniquement des angles dire(i(eurs, soit représentée par [a], nous obtiendrons la suivante :

(i+pr=i + j/>+ \^ />'+

En particulier, si l'on fait dans cette dernière m = -^^etm = — f,on

obtiendra les deux autres dérivées de la précédente

(l + pr^=l--ip + i4p'-i4:|p» + etc.

(i+;,r^=i-|p+J4p«-l44p'+eic.

Ces deux séries, dont la loi est évidente, trouvent leur emploi dans le développement symbolique de la force perturbatrice du mouvement elliptique des planètes.

27. Lorsqu'on a à considérer des quaternions comme fonctions d'une quantité réelle , variable, analogue au temps, il faut, pour que cette fonction soit continue, que les parties constituantes du quaternion varient toutes d'une manière continue en même temps que la variable indépendante. Ainsi soit

un quaternion quelconque fonction continue d'une seule variable indépendante tf et At un accroissement quelconque fini de t ; celui de p, Ap, qui y correspond, sera donné par la formule

Ap = Aw + 4^ + ^yj + A^^>

dans le cas où le quaternion p est continu , il y a lieu de considérer le quaternion dérivé de p, et on trouve immédiatement par 1$ considération, des limites, et ep employant la notation connue

dp dw dx dy dz dt- dt^ it'^ df^^dr'

On obtiendrait de mdme toute3 les dérivées successives d'cf dre plus élevé, et, dans le cas où le quaternion p dépendrait de plusieurs inriables* indépendantes, les diverses dérivées partielteê de ce quaternioq.

28. Parmi les diverses formules auxquelles conduit le calcul différentiel , appliqué aux maternions, nous en distinguerons d'abord quelques-unes

d'une application fréquente, et par lesquelles nous terminerons les consfdérationi préliminaires qui font l'objet decettcsection.

Proposons-hous d'tbord d^ofclwir Texpression de la dérivée du • ^

module du quaternion p. On aura cette suite d'identités

dTp d\/w* + x* + y* + 7 i dt '^ dt ~

d'où on déduit

i / dw . dx , dy . dz\

dp dp

-Tp^-di^P^^P^J = ^v-p'

dp dlogTp dF dt "^ % '

qui montre que la dérivée du logarithme (népérien) du module d'un quaternion a pour expression la partie algébrique S du quotient de la division de la dérivée du quaternion par le même quaternion.

29. La dérivée de l'unité d'un quaternion donne aussi lieu à une formule analogue. On a

TpVp=p;

d'où Ton tire en différenciant

dTpVp + dVp.Tp=dp, et en multipliant par l'inverse de p ,

rfTp rfUp dp

Or, d'après le numéro précédent

dTp dp

donc r

rfUp dp g<p^dp

Up P p p'

On voit, d'après cette formule, que le quotient de la dérivée de l'unité d'un quaternion divisée par cette unité équivaut à la partie symbolique V du quotient de la dérivée du quaternion divisée par le quaternion.

30. Si dans la différenciation du quaternion, exprimé en fonelîon de ses quatre éléments, les deux éléments directeurs étaient considérés comme

coDstantSi on aurait, en désignant par Tangle principal du qualernion p et par [a] la fonction symbolique constante formée avec les éléments directeurs

U/î = cos6-f-sin6[a]

6 [a] = logU/>, d6[«] = dlogUp.

Or, en différenciant la première de ces équations, il vient

(mp===(— 8Îne + cos6[a])dO==(^cos(^ + oW8in(^ + eVa]y d*où l'on tire

-— = (cos ^ + sin ^ Wjrfe = [a]db = dlogVp.

De là , ce théorème analogue à celui du n* 28 : lorsque les seuls éléments variables d'un quaternion sont le module et Tangle principal, la différentielle du logarithme de son unité est entièrement symbolique et équivaut au quotient de la différentielle de l'unité du quaternion divisée par cette unité elle-même, et par suite, d'après le numéro précédent, à la partie symbolique du quotient de la dérivée du quaternion divisée par le quaternion.

31. La différentielle complète d'un quaternion quelconque peut donc toujours être mise sous la forme suivante :

Ces dernières identités sont d'ailleurs évidentes, car on a

dp=dpp''p=dp(Vpy\vp),

ce qui donne immédiatement

*=(»f+vf),= (s|+v|)„,.

Lorsque le quaternion p se réduit à un trinôme symbolique

çL=sei + yj + zh,

OD a

(Ua)-*= — Ua,

et par suite

dTa = — s dalJa,

dU« = î^^?^ et S (orfUa) = 0.

On aurait aussi

Ta* *

Toutes ces dernières formules sont d'une application fréquente*

32. On peut aussi obtenir, par une opération inverse » un quaternion dont la dérivée ou la différentielle serait donnée , et ce problème revient évidemment, dans le cas simple où nous plaçons, à effectuer quatre quadratures sur les parties constituantes du quaternion donné. Ainsi , si ce dernier est toujours

p = w + xt + yj + zk,

et que t soit la variable indépendante, on aura

{pdi = {wdt + t{ocdt+j{ydt + k{zdt + 0\

La constante étant ici un quaternion quelconque indépendant de t.

33. Il est bon de noter quelques cas d'intégration immédiate. Ainsi de

la relation

rfT£grfp Tp p'

ou

On tire, en désignant pary(Tp) une fonction quelconque du module de p,

ATp).dTp = SA(Tp)^.

Or, le premier membre étant une différentielle ordinaire par rapport à une seule variable, si on désigne par <p son intégrale en posant

?(x) = J fxdx,

réqaation précédente donnera par Tintégration

dp

^SAT/,)^ = ?(T;,) + cons".

Comme application de cette formule, supposons qu'on fasse

ft étant un exposant quelconque, on aura

\mpr''P-''dp)=^^^+c\

dans le cas de n= — 1 , on a d'ailleurs (28)

^B^ = \og(Tp) + er

SA. On peut aussi 9 pour Tintégration , tirer quelquefois parti de Téquation

Vp p '

Ainsi on voit que si Ton avait

on aurait aussi

dUp = 0,

et par suite

Vp = cens**.

c'est-à-dire que le quaternion p aurait tous ses éléments constants , à Texceplion de son module.

35. Supposons que le quaternion p soit réduit à sa partie symbolique et posons

azrzxi + fjj + zk,

Nous aurons

En posant selon la notation ordinaire

=a' et 5^=.,

réqualion précédente peut s'écrire

On tire de là

C ytxsi'dt = Voflt' + p,

^ étant un trinôme symbolique constant. On aurait de même , en désignant par y un autre trinôme indépendant de i ,

Cette intégrale se déduit de Tidentité précédente eu en multipliant les deux membres par S. y. On peut faire usage de ces dernières intégrales en dynamique pour obtenir immédiatement le principe des aires ou des moments.

Nous allons maintenant faire connaître Tinterprétation que reçoivent les symboles actuels, et on verra que la plus grande partie des résultats que nous venons d'obtenir par le calcul ont une signification qui, ainsi que Ta montré M. Hamilton, permet de les retrouver par une voie entièrement différente et purement géométrique.