câ! jk

+ dV ki

+ dd kj

+ ci';.-

et

qp= aa- +(aA' + ia')» + [cuf Jf ca']j +(aJ' + rfa')Jfc

+ WV + d<fjk + hiki -^ cb'ij

+ c(fj* 4- ctfkj + db'ik 4- Ac';ï

+ dd'k\

On voit qae les deux produits ne sont pas de forme identique, et qu'on ne peut pas écrire, au point de vue où nous nous plaçons,

vq=qp-

La différence des deux produits sera le polynôme symbolique du second degré suivant :

pq—qp = (cd!—d(f) (/A-i^') + (d4'-W') (ifa-i») + (ic'— <*) (y ->i).

5. Pour simplifier l'expression du produit précédent et le ramener à la forme linéaire, nous conviendrons désormais de faire dans ce produit, sur les termes du second degré par rapport aux symboles, les substitutions suivantes, qui sont celles que M. Hamilton a le premier imaginées :

jk = — kj=t, *t=: — »*=7, tj = —jt = k.

A Taide de ce système de substitutions, les produits précédents se ramèneront à la forme normale, quadrinome et linéaire :

pq = M/—bV—ei/—dtF+U(a'-{-M) + (cd'—dc')\i

+ { (0*? H- rfo' + (éc' — c6' ) } * ^ = aa'— W— ce'- rfd'+ {(ay+ W) - (cd'— de')} I

+ |(<ic'+ co") — rfy— W)} y + |K+ da') — (ic' — cJ") I *

La comparaison de ces produits montre qu'ils ne sont pas en général

identiques, et foarait les relations

Spq=^Sqp = aol — bb' — cd ---dd' \pq=\[QU^ha')+cd''^dd)\i + (ac' + cû') + (rfé'-. W)t/

J^Uad + dd) — {y — cb']\h ;>g — y/>=Vpy — Vî/> = 2J(crf' — (/c')t + (d6' — M']i; + (Ac'— ci')*).

6. SapposoDSy comme cela arrivera fréquemment dans les applications, que les quaternions facteurs soient entièrement symboliques, ce qui revient à poser dans les formules précédentes

et désignons les deux noaveaox facteurs symboliques par les lettres a et|3, ett sorte qu'on ait

a = il -f- cj + dk p=:Aï + </ + d'»,

le» identités précédentes deviendront

Sap = SPa = — éé' — C(/ — d^T

Vap = — Vpa = [cd'— d<f)i + (di'— bi]) + (bd--cb']k.

Remarquons^ en outre, qu'on aura généralement :

2Sap = ap + P« et V(ap + Pa)=0 2Vap = aP — pa 8(aP — Ptt)=0.

7. Pour obtenir le produit d'un nombre quelconque de quaternions, on peut procéder de deux manières différentes. En considérant le produit à effectuer comme le résultat de plusieurs produits successifs de deux facteurs, auxquels s'appliquent les réductions précédentes, on arriverait facilement à un dernier quaterniou comme produit final. Mais on peut aussi suivre une autre marche qui consiste à former le produit symbolique complet de tous les facteurs donnés, ayant, par rapport aux symboles, un degré

égal au nombre des facteurs. On ne fait d'abord aucune réduction sur leâ symboles, ni aucune inversion dans leur ordre, puis on passe du produit symbolique au produit définitif, en calculant la valeur de chacun des produits composés uuiquement de symboles pris comme facteurs, ces divers produits auront d'ailleurs nécessairement Tune des huit valeurs simples

±4, ±iy ±j ou dzké

Par suile le produit définitif se ramènera immédiatement à la forme nor-^ maie linéaire.

8. Considérons, pour éclaircir cette dernière méthode par un exemple, le cas où le nombre des facteurs serait égal à trois; les divers produits du troisième degré, formés avec les symboles et qui sont évidemment les seuls dont la valeur ait besoin d'être connue, seront compris parmi les vingt^sept suivants :

if, ik*

Al*, kj*

i'k, fk

jij, kik

kjk, iji

iki, jkj

ijk, ikj

jki, jik

kij, kji.

Il est facile de reconnaître que ces produits donnent lieu aux substitutions numériques correspondantes

qui permettront de déterminer la valeur d'un produit quelconque de trois quaternions*

9. L'examen des substitutions précédentes conduit à une remarque importante dans la théorie actuelle, savoir que Tun quelconque des produits de trois symboles conserve toujours sa valeur, quand on substitue au produit de deux symboles consécutifs sa valeur fournie par les substi-

satwtUatioDS foodamentalee du n* 5. Aiosi oo a par exemi^e

j9=ji.x = — A» =;.? =.— j ii;r=rt*.j =— jj =€.*; =— i.t = + 4, «te, ete.

Celte remarque s'étend d'ailleurs au produit d'un nombre quelconque de symboles. Ainsi on aura

ijlàk = i.jk.ik

parce qu'on a, d'après ce qui précède,

ik = .(i*)

et

jk = (;•*).

les points indiquant des symboles facteurs en ncH&bre quelconque. On aura donc

ijkik = i(jk) (ik) = ix[-^j) = — [%t]j =j;

on aurait pu grouper autrement les facteurs et écrire dans le cas actuel

ijkik = {tj)k {ik) = k\ik) =- (ik) =y.

On pent dire plus généralement encore qu'un produit d'un nombre quelconque de symboles conserve sa valeur, si l'on substitue à la place de plu* sieurs facteurs consécutifs le facteur unique qui leur est équivalent Cesl ainsi qu'on a, par exemple,

jijkijkkjkj = {jifjk {ij)k [kjk)j = ikkkjj = ik = — >.

10. Il est visible maintenant que la remarque que nous venons de faire s'étend au produit d'un nombre quelconque de quatemions même. Ainsi si p, 9 et r désignent trois quatemions, on aura

pqr = pq.r = p^qr.

En effet, en effectuant les multiplications algébriques, telles qu'elles sont indiquées, les termes des trois produits finals ne différeront les uns des autres que par la manière dont sont obtenus les produits purement symboliques qui y entrent; or ces produits étant composés des mêmes facteurs disposés dans un même ordre, donnent lieu, d'après le numéro

précédent, aux mêmes substitutions ; par suite ces divers prodoits seront identiques. Cette conclusion est d' ailleurs générale et s'étend d'elle-même à un nombre quelconque de facteurs^

11. Lorsque deux quatemions ont une même partie algébrique et deux parties symboliques égales et de signe contraire, on dit qu'ils sont conjugués Tun de Tautre^ et le produit de ces deux quaternions a pour valeur la somme des carrés des quatre coefficients numériques qui entrent dans chacun d'eux; c'est ce qui résulte de l'identité immédiate

[a + bi+cj + dk) (a^bi''cj—dk) = a^ + b*+c* + d^.

Nous désignerons désormais le quaternion conjugué de p par la notation Kpy et nous observerons que le produit de deux quaternions conjugués est indépendant de Tordre dans lequel on les multiplie entre eui, en sorte qu'on a toujours, conformément à notre nouvelle notation,

pKp=iKp,p.

12. Le quaternion conjugué du produit de deux quaternions p elq est égal au produit des conjugués de ces facteurs multipliés dans un ordre inverse, en sorte qu'on a

Kpq = Kqkp.

En effet, en conservant les notations du n"" 3, on a

Kp = a — 6ï — cj — dk

Kq = cl —Vi-^dj — d'k

Yipq=:aa' — bU — cc'-^dd' —[aV + biji'\'Cd' ^d<f)i

^[a(/ + ca: + db' — bd')j — (ad'-^dci+h(f — cV)k.

Si l'on change dans la seconde des formules du n"* 5 les signes de 6, c, c/y b\ c et d\ on obtiendra donc le produit

et l'on vérifiera immédiatement que ce produit équivaut à celui qui précède et qui représente le conjugué do quaternion pq^ donné par la première des formules du même artic le»

Ce théorème s'étend sans difiiculté à un nombre quelconque de facteurs,

et Ton aura généralement

Kpqr = KrKqKp.

Si les qnateruions étaient privés de leur premier terme et réduiU à leur partie symbolique a, (3, y, 3..., X, leurs conjugués seraient — «, — p, ..., — X, et Ton aurait par suite

K(&P X) = zt:X pa

en prenant dans le second membre le signe + ou le signe — , selon que le nombre des facteurs est pair ou impair.

13. Nous appellerons module d*un quaternion et nous désignerons par la notation T placée devant ce quaternion, la racine carrée de la somme des carrés précédents ; nous aurons donc

en désignant toujours par p le quaternion

14. Le quotient du quaternion p par son module Tp, donne un nouveau quaternion dont le module est l'unité. Nous appellerons un tel quaternion, une unité et nous la désignerons par la notation U, placée devant le quaternion dont elle dérive; ainsi Ton aura

le nombre de ces sortes d'unités est évidemment illimité; mais leur considération est très-utile, comme on le verra bientôt.

15. Démontrons maintenant que le module du produit de plusieurs quaternions est égal au produit des modules des facteurs.

Si ce théorème était démontré pour le cas de deux facteurs, il est visible qu'il s'étendrait immédiatement au cas d'un nombre quelconque de facteurs. Or si l'on désigne par p et 9 les deux quaternions

p = a + il + g + rf*

9 — on aura (a* S)

d'où Ton déduit, en vertu d'une identité bien connue et due, je crois, à Euler,

(TpqY = (a« + i» + c* + rf») (a'« + &'• + e'« + d") = (Tp)« (T?)«

et par suite

Tpq = TpTq,

ce qui démontre le théorème énoncé. Mais voici une autre démonstration fondée sur la remarque du n"" 1 % On a en effet, d'après ce numéro

pqHpq =pqKqKp = p.qKq.Kp.

Or les deuK produits qKq et pKp sont algébriques et égaux chacun au carré des modules de q et de p. On a donc

pqKpq = {Tpy(Tq)\

et par suite

Tpq = TpTq,

ce qu'il fallait démontrer.

16. On voit, d'après cela, que le produit d'un nombre quelconque d'unités de quaternion aura toujours un module égal à l'unité et par suite sera une nouvelle unité. Ce qui donne lieu à la formule

\]pqr = VpUqVr.

17. Il importe de faire dès maintenant une nouvelle remarque importante, quoique d'ailleurs évidente : c'est que pour multiplier entre elles deux sommes de quaternions, il sera permis d'opérer par la règle ordinaire de la multiplication algébrique, en observant avec soin de ne pas intervertir l'ordre des facteurs. Ainsi on aura sans réduction

(p + qY=p^ + pq + 9P + 9^

(P + q + rY = p^ + q^ + r* + pq + qp + qr + rq + rp + pr.

Lorsque les quaternions ne se présentent pas sous leur forme complète,

les formules précédents el d'autres analogues sont susceptibles de réduction. Ainsi si a, |3, y..* représentent des trinômes symboliques ou des quatemions privés de leur premier terme, on trouvera sans difficulté

Or on a (n* 6)

«p 4- Po = 2S«p ,

donc

(ci+p)« = a«+p« + 2Sap.

On trouverait de même

(a — p)» = a« + p« — 2Sap (« + p)(a-.p)=a«~p« + p«-(xp,

et comme on a (même numéro)

p«— ap = îVPoÉ = — 2Vap,

il vient

(a + p)(a— p) = a»— p* + 2Vpci = a« — p« — îVpa.

Cette formule se décompose dans les deux suivantes :

S(« + p)(«-p)=a«-P« V(a+p) (a— P)=2Vpa = — 2Vap.

On établirait avec le même facilité les formules suivantes qu'il est bon de noter :

(«4.p-|.Y...+x+^)'=«*+P' + ï' + -+^'+2Sap+2SPY+2SaY+... + 2SxX.

18. La définition de la division présenterait quelque ambiguïté, si Ton se bornait à la présenter comme dans l'analyse ordinaire. Ou peut montrer en effet qu'il existe en général deux quaternioBS différents, qui, multipliés par un quaternion donné, produisent un autre quaternion également donné, pourvu que la multiplication se fasse dans les deux cas dans un ordre différent. Pour démontrer cette proposition, j'observe d'abord qu'il y a toujours un seul quaternion qui , multiplié par un autre quaternion donné, donne l'unité pour produit, ou ce qui revient au même, qu'à un quaternion quelconque correspond toujours un seul quaternion qui lui soit inverse. Soit par exemple :

an qnaternion donné et

son inverse, en laissant les quantités u*, â;, y et s indéterminées, elles devront être de telle sorte qu'on ait (n* 5)

aw — bx — cy — rf2 = 4 itt; -|- (wr— rfy-|- cz = ctv -f djF-j- ay — 6z = dw — cx-^by + az^zzO

on a encore

aw — bx — ey — dz = i bw-\-ax +rfy — €z = cw'^dx^ay'\' bz=:0 dw-^-cx — by-\-az=, 0.

Or il est facile de reconnaître que ces deux systèmes sont identiques et donnent pour les inconnues les valeurs

^""(Tp)*' ^""rw' ^^(Tpp' ^""w

qui sont précisément les mêmes que celles que fournit immédiatement la considération du quaternion Kp conjugué de p.

19. Gela posé, si Ton demande maintenant de trouver un quaternion r qui, multiplié par un quaternion donné p, donne comme produit un autre quaternion donné 9, le problème admettra les deux solutions distinctes

r^=q^ et r^ = ^q,

'txf représentant le quaternion inverse du diviseur p , ou p"*. Pour faire disparaître toute ambiguïté dans le choix de ces deux quotients^ il suffira de fixer la place qu'il occupe par rapport au diviseur dans le produit qui donne le dividende. Mais on fait disparaître toute difficulté, en introduisant la considération du quaternion inverse du diviseur, que nous désignerons dorénavant par ce quaternion affecté de l'exposant — 1 , ou encore sous forme de fraction dont le numérateur exprimé ou sous-entendu est +1 ; et les deux quotients écrits plus haut s'exprimeront respec-

tivement par la notation

et

20. Lorsqae les quatre facteurs numériques a, 6, c et (/, qui entrent dans l'expression du quaternion

p = a -|- Ô! + c/ + dk

sont réels , on peut mettre ce quaternion sous une forme remarquable^ que nous allons faire connaître, et qui conduit à une généralisation de la célèbre formule de Moivre, si utile dans l'analyse ordinaire. Posons pour cela

igb = lj^-J—J—-, tgcp= ^ J ■ et tg^;==-, il viendra

p=Tp jcos 6 + sin 6 (ces <pt -f- sin <p cos 4;; + sin <p sin ^k) \ .

On voit que de cette manière le quaternion p est exprimé à Taide de quatre nouvelles quantités. Ce sont le module et les trois angles 6, 9 et <{/^ nous les appellerons les éléments de ce quaternion.

Le premier de ces angles 6 sera dit V angle principal et les deux autres, les angles directeurs ou encore la colatitude et la longitude du quaternion. On verra dans la suite la raison de ces nouvelles dénominations.