V.aVpY = T8«p — pSay
On peut encore démontrer directement la première des identités précédentes en faisant cette suite de transformations. On a
V*Pt = ^ («Py + yM ;
car
«PY + ïP« = 2«SPT + «VPr — VpY . a = 2ttSPY + «VftVpY = 2VapY, or
|(«Pï+ïP«) = |«(Py+yP)-5(«y+y«)P + |y{«P+P«);
donc
VapY = «SPy — PSoY + YSap.
On voit par saite que la partie symbolique du produit de trois vecteurs ne change pas, quand on permute entre eux les facteurs extrêmes, et qu'on a toujours
VaPY = VyP«.
On déduirait encore facilement de la même identité les suivantes, qu'il est utile de remarquer
VaPY + VYap = SySœP VapY + VpY« = 2aSpY V«Py + VpY« + VYap = «SPy + PSaY + YSap.
54» Les formules précédentes subsistent évidemment lorsque les vecteurs ce, ^ et y sont dans un même plan. On aura donc dans ce cas
aVpY = yS«P — PSaY.
Si Ton désigne par A, B et C les angles que font ces vecteurs avec une droite quelconque tracée dans leur plan, cette identité donnera les deux suivantes :
sinA8in(B — C) = cosGco»(A-^B) — cosBcos(C — A) — cosA8in(B^C) = sinGco6(A — B) — sin B ces (C — A).
Ces formules se transforment en deux autres, en changeant B et C en
1 + B et s + C; ce sont
sin A rin (B — C) + sin B sin (C — A) 4- sin C sin ( A — B) = cos A sin (B — C) + cos B sin (G — A) + cos C sin ( A — B) = 0,
et comme Torigine des arcs est arbitraire, on peut diminuer dans ces formules tous les angles de l'angle D, ce qui donne
sin(A— D)sin(B — C) + sin(B — D)sin{G — A) + sin(C— D)sin(A— B) = cos(A— D) sin(B — C) + cos(B— D) sin(C— A) + cos(C — D) sin(A — B) = 0.
Toutes ces identités bien connues sont, comme on voit, des conséquences immédiates de cette première
55# La partie algébrique du produit précédent a^y est susceptible d*une interprétation géométrique remarquable ; elle exprime en effet le volume du parallélipipède qui aurait ses arêtes parallèles aux vecteurs a, ^ et y, ou encore, ce qui revient au même, le sextuple de celui de la pyramide triangulaire qui aurait ses arêtes parallèles aux mêmes vecteurs. Cette proposition devient évidente si Ton remarque que la base du parallélipipède précédent comprise entre les vecteurs ^ et 7, a pour expression
et que la hauteur correspondant à cette base est
SaUVpT.
Le volume du parallélipipède est donc
Ce volume est d'ailleurs susceptible d'avoir un signe selon Tordre dans lequel sont disposés les facteurs, car on a évidemment
8aPY = — SoyP,
puisque
vpt=-VtP,
on aura en général
SoipY=:SPYa = SY«P et StP«=8pGP( = SayP = — SapY-
56. On démontrerait, à Taide de considérations géométriqnes élémen» taires,qae le volnme SocjSy est aussi équivalent au sextuple de celui du té* traëdre qui aurait trois quelconques de ses aréles parallèles aux mêmes vecteurs a» (3 et y. Remarquons aussi que la môme expression est égale au produit de la plus courte distance de deux arêtes opposées du tétraèdre précédent multipliées par Taire du parallélogramme construit avec les mêmes arêtes. Ainsi soient « et|3 deux aréles opposées d'un tétraèdre et y Tune des arêtes qui les joint, en appelant d la longueur de la plus courte distance des arêtes a et 0, on aura
d X TVap = 84pY- Cela résulte en effet de ce qu'on a immédiatement
d = SrtJJWa^.
Cette expression très-simple de la distance de deux droites, coïncide d'ailleurs avec celle qu'on emploie ordinairement dans la géométrie analytique.
57« On voit facilement, d'après ce qui précède, quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que le produit agébrique
devienne nul, lorsque les vecteurs sont eux-mêmes finis. Cette condition est que les vecteurs soient tous parallèles à un même plan. A l'aide de cette remarque on peut souvent simplifier les produits algébriques de trois sommes de vecteurs qui auraient des parties communes. Ainsi Ton aurait identiquement
Sa(p + 8)(« + p + 8 + Y) = SapT + Sa8T = S«(p + a)Y,
et en général
Stt(a« + *p) (<» + dp + «y) = *c8«Pt,
a, by Cjdete désignant des quantités numériques quelconque»
— ftO —
58. Si Ton exprimait sous la forme symbolique normale ordinaire les trois vecteors a, |3, y et qu'on eût, par exemple
P = c^i+b'j +c'k Y = a"t + yy + c^*,
on trouverait, en effectuant les calculs nécessaires
VaPY = t a[aW' -{-bV + (fc^) — d((ui'' + by + ccr) + ar(aa' + bb' + c(f)\ + > j *(«'«" + *'*" + CC) — i'(aa" + W + «r^ + yiafl- + bb' + ce' j
+ * I c(a'a" + y4* + c'c«0 — c'(aa' + W + «?*) + c'{ao'+ W' + cc' I
et
— SaPr = a{yc* — rt") — ô{cV — a'O + «K*" — i'<^,
la première de ces deux équations démontre la formale
VapY = ttSpï — PSoY + -/Sap,
et la seconde donne Texpression connue du volume d^un parallélipipède en fonctions des projections de ses côtés sur trois axes rectangulaires quelconques. Nous retrouvons ainsi, conmie vérification, quelques-uns des résultats précédents.
59. Étudions maintenant le produit des parties symboliques de deux quaternions obtenus chacun par la multiplication de deux vecteurs. On fera usage, pour obtenir ce produit, des formules suivantes, d'une grande importance dans le calcul actuel
V( VapV-rB) = oSp^S — pSccY^ = 5SaPY — i&^ S(VapVt8) = SaSSpY — S«rSpa.
La première de ces formules se déduit immédiatement de la seconde de celles du n"" 53. En effet, on a
X étant un vecteur quelconque, faisons dans cette formule X = YajS, il viendra
V(Vap . Vy8) = 8SaP7 — YSopa,
- 4i — On déduirait de môme de la formule
En remplaçant le vecteur arbitraire fi par Yyd, celle-ci :
V(Vy8 . Vpa) = V(Vap . V-fS) = aS-r^p — ^Sr(ta = aSpT» — P3«T^.
On pourrait encore établir ht môme formule au moyen des deux suivantes :
V(apVYo) = aSp-yS — pSxfS + Vy^Sap V(apYY5) = VY«SaP + VIV«P.Vy8),
d'où on tire immédiatement
et par une simple permutation de lettres, on obtiendrait encore
V(VapVY8) = SSaPr — ïSapa.
60. Si Ton supposait dans cctto formule que Tun des deux premiers vecteurs, a ou p, fût égal à \\\n des deux autres, p ou y, le second membre se simplifierait et se réduirait à un seul terme. Ainsi on aurait en posant, par exemple, a=d,
V (VapV-ya) = oSotpr
on aurait de môme
V(Va?VaY)=: — oSapY.
6i. Pour établir la seconde formule relative au produit algébrique des vecteurs précédents, nous remarquerons qu'on a
SapYÎ = Saps^e + sivapy^a),
or, par un autre développement du même produit, on aura
Sap^a = S«VPy8 = Sa(pSY8 — TSp8 + 8SPy)
= S«p . Sy8 — SoY . SPy + Sa6 . SpY.
On conclura donc de ces deux identités la suivante, qui est celle qu'il s'agit d'établir :
S(VapVY8) = S«8.8Py — S«Y.Sp8. '
Le second membre de cette formule se réduit à un seul terme, lorsque Tun
des vecteurs, a ou ^, esl perpendiculaire à Tun des deux autreSi y ou d« Ainsi, si a était perpendiculaire à 7, ou à d, on aurait
ou
et la même rédaction aurait lieu si |3 était perpendiculaire à 3 ou à 7.
62. L'identité précédente n'est autre chose que la traduction de ce théorème de trigonométrie énoncé par Gauss, au commencement de son célèbre mémoire sur les surfaces : si ABCD est un quadrilatère sphérique formé par quatre arcs de grand cercle, et que M soit Tangle que font les arcs AB et CD à leur rencontre, on aura
sia AB . sin CD cos M =s cos AC cos BD •- ces AD cos BC,
C'est ce qu'on voit immédiatement en représentant par ce, P» 7 et d les rayons de la sphère précédente qui aboutissent respectivement aux sommets A, B, C et D du quadrilatère.
63. On peut déduire encore de la même identité cette autre, qui me paraît curieuse et digne d'être remarquée :
S[Vap . V-rS + Vflt-r . VSp + VaS . VPy] = 0.
En effet, on a, d'après la formule précédente,
S( V(xp . Vy8) = Sa8 . S?y — Sa-f . Sp8 S(VaY . V8p) = Sap . &r8 — SaS . S^P S( VaS . VPy) = SaY . S8p — Sap . SS^
d'où on déduit, en ajoutant membre à membre ces trois équations, la formule précédente, en remarquant que les six termes de ces seconds membres se détruisent deux à deux dans Taddition*
6{|. Cette formule peut aussi se traduire par le théorème de trigonométrie suivant : soit ABCD un quadrilatère sphérique formé par quatre arcs de grand cercle quelconque ; désignons par M, N et P les ang^OB que formeraient respectivement par leur intersection
AB et CD, AG et BD et AD avec BC.
- 4â — 00 aara toujours identiquement
sin AB. sio CD cos M -}- sin AC sin BD cos N -f- sin AD. sin BC cos P = 0.
Dans le cas où les quatre points A, B, C et D seraient sur on même grand cercle, les angles M, N et P seraient nuls, et on retrouverait ainsi une formule déjà obtenue (Si) qu'on peut aussi écrire dans ce cas :
sin AB. sin CD + sin AC. sin BD + sin AD • sin BC = 0.
En déplaçant le point A sur le même cercle à une distance ^ de la prcmière, on aurait aussi
cos AB. sin CD + cos AC. sin BD + cos AD. sin BC= 0.
65. Les théorèmes relatifs à la multiplication des quateruions, exposés aux numéros il et 42, conduisent aussi très-facilement aux relations fondamentales de la trigonométrie sphérique. En effet, soient ABC et A'B^C deux triangles sphériques polaires ; a, (3, y, a , (3' et y' les vecteurs correspondants aux sommets de ces triangles; désignons aussi, selon Thabitude, par a, 6, c, A, B et G les côtés et les angles du premier triangle ABC, les éléments pareils du second triangle seront, comme on sait, tt — A, n — B, TT — C,îr — a, 7c — b et TT — c; et soient de plus p, 9, r, p^ ç' et r' les quaternions représentée par les arcs BC, CA, BA, B'C^ C'A' et B'A', on aura
cosa — sina.a',
cosé — Afkb.&y
cosc + sînéT.y,
cosA + 8inA.«,
cosB +8inB.6,
cosC — sinC^.
et de plus ,
r = pq
et r' = pq\
on aura donc
cosc4-8ÎncY'=(cosa — 8ina.oO(cos6 — ûnb.S) = cosa cos 6 4" sin a sine Sa'6',
— cosasind.6' — cos&sina.a', -|- sinflsiniVo'e', = cosacosft -j- sinasinécosC — cosasini.P — cosbsina.a -|-
-f* sinnsindVa'e,
et
— cosC — sinC.Y=(cosA — sinA.a)(cosB — sinB.6)=co8AcosB4-8inA8mBSae
— cosAsinB.6 — cosBsinA.a-f-sinAsinBVaS = cosA cosB — sîQ A sinBcosc — cosÂsinUS — cosB siDAa-|- sioAsinB VoiS.
66. On tire de ces dernières équations, en prenant les parties algébriques des deux membres de chacune d'elles,
COSC = cosacosA -f* sinasinicosC, — cosC = cosAcosB — sinAsinBcosc*
On aurait de même , en égalant les parties symboliques de la première équation,
sincf 4- cosasin6 . S -{- cosfsina.a' — sinasin6Ya'6' = o,
équation qui peut aussi se mettre sous la forme suivante :
Va6 + cosûV^a + cosiVS^ — sinasînésinC. y = 0.
Multipliant la première par S . Va^' et la seconde par S • y, il viendra :
sincSflc'6'y + sinasioA sin'C = 0^ et
Sa&f + sinasinAsinC =: 0.
On tire de ces deux équations, d'abord
sinasin ôsin c Sa'SY = — SaC^ ,
qui exprime une relation remarquable entre les volumes des parallélipipèdes construits sur les rayons qui aboutissent aux sommets de chacun des triangles polaires. On obtient ensuite par une simple permutation entre les lettres :
— SaSy = Srfi% = sinasin6sinG = 8inisinc8in A s= sinrsinasinB.
ce qui donne les relations très-simples
sinA sinB 8inC S^ S«^6Y sina sin é "~ sin c sina sinisinc SaCy '
La même équation symbolique
sine, y + cosasini.e'-l- cosisina.of sstànatàabVaV
donne aussi, en la multipliant par S • a^
8inccosB-|-cosasmicosC ^ sinacosA = ,
et cette dernière foamit, en divisant tous ses termes par sin b et en reoH
, sine sin.C ,,. ,
plaçant -t— r V^^ -r-^s » léqualion connno sm o sm D
cot&sina =cosacosC + sinCcotB.
NoQS retroQVons ainsi, comme on voit, presque immédiatement, les
principales formules de la trigonométrie sphérique.
67. Considérons maintenant trois vcctenrs obtenus respectivement chacun par la multiplication de deux autres, et que nous désignerons ainsi :
Vap Vp-y et VyS
et cherchons à exprimer la partie algébrique de leur produit. On trouvera qu'elle s'obtient à l'aide de la formule suivante :
S(V«p.Vp'r.V'r8) = Sa8. (pY — SpY*) + SPt(8«PS8t + 8«t88?)
— p'.Scrf .S8t— t»8«p.S«p.
En effet, on a
S{<i66TYÎ) =6*Y*S<«8 = BoSS&tS^ + Sa6S(V6t.V-r«)
+ SeYS(Va6.VY8) + SïSS(V«6. V6y) + 8(V«6.ver . Vt8)
d'où on tire, en appliquant dans le second membre la formule (61),
8{ Vofi . V6y . V-rS) = 6»Y»8««8 — SciG . S6y . Sy8 — f»8«6 . S68 — 6«Sy8 . SotY— S6y . S«i8. S«T
+Sa6.S6r-SY8+S&r.SaT.Sfô+STt.S«C.S6T
= S«8 . («Y -- 86y*) + S6y. (SciS . 88y + Sccr .886)
— P.Sar.SSr — t'S««6.886,
ce qui est la formule qu'il s'agissait d'obtenir. On voit qa*elle ne renferme dans son développement que six termes et qu'elle est symétrique par rapport à a et à d, ainsi que par rapport à p et à y. On aurait donc par exemple
68. On serait coodait à la même formule en déreloppant le produit suivant
au moyen de la formule qui donne
Sa6Y.&r« = 6VSaa— S{oS6y — eSa-y + YSaS) (YS6a— 68^8 + 8876)
= Sa8.{6«-r« — Si^*) + S6Y.(Sa6.88T + SaY.S86)
— 6«8aY.88t — T*Sa6.S68.
69. L'égalité des deux formules précédentes donne Tidentité remarquable
Si on fait en particulier a = d, cette dernière devient
(Sotôy)» = S(Va6 . VaY . V^C) = S(Vrf . V6y . S«t)
L*identité
s5y* = — SVa6.V6Y.VY4,
se confond d'ailleurs, ainsi qu'il est facile de s'en assurer, avec l'une des formules déjà obtenues au n* 66.
70. En désignant par a, ^, 7, d et e cinq vecteurs quelconques, Tap* plication des formules précédentes donnera les deux équations
Sa8e S68& => Sa6 1^ — S V) S$e (Sa8S6e + SeaS68) + S^SoeSSa + s*Sa8S68 , SyS^ =«Y'{s8? — «V) — 2S8eSY8SYe + S^SY^^^ + e^S^i',
d'où on tire, en retranchant membre à membre la seconde de la première ,
Sa8e S68e — S^ = (Sa6 — Y^)(S8? — 8V) — S8e (Stt8S6s + SoêS68 — SSy^Sy*) +
