U(AB.BC.CD KL. LA) =: {UAT

Suivadt que n sera un nombre pair ou impair, le second membre se réduira à ±: 1 , ou à ± UAT. Par suite le produit des vecteurs donnés sera algébrique ou symbolique, selon que le nombre de ces vecteurs sera pair ou impair, et dans le dernier cas, ce produit équivaudra à un vecteur dirigé parallèlement à la tangente AT. Le module du produit sera d'ailleurs égal au produit numérique des longueurs de tous les facteurs, et Ton reconnaîtra par lequel des signes + ou — il faudra multiplier le produit, suivant la valeur de rentier n et la manière dont les sommets BC....EL du polygone seront disposés par rapport aux diverses diagonales et à la direction AT choisie pour la tangente.

Si> Supposons que les vecteurs donnés comme facteurs ne soient plus situés dans un même plan, mais qu'ils soient encore parallèles aux divers côtés d'un polygone gauche quelconque inscrit dans une sphère donnée ; on montrerait de même, par la décomposition de ce polygone en triangles, que le produit de tous les vecteurs, qui est égal, à un facteur numérique près, à celui des côtés du polygone, sera un qnatemion dont Taxe serait dirigé suivant le rayon Ao de la sphère, ou bien un vecteur parallèle à la tangente AT menée à la même sphère, suivant que le nombre des facteurs sera pair ou impair.

52« Il est par suite aisé de reconnaître, par le calcul symbolique actuel, si un point donné M est ou n*est pas sur la surface de la sphère qui passe par quatre autres points A, B, C et D dont la position est connue. Soient en effet a, |3, y les vecteurs représentés par les droites AB, BG, CD et fi, v les deux vecteurs DM, MA. La condition nécessaire et suffisante pour que le point M soit sur la sphère circonscrite au quadrilatère ABQ) sera exprimée par Féquation

qui équivaut à la condition que Tun et Tautre de ces deux produits soit un vecteur, car chacun d'eux étant égal au conjugué de Tautre multiplié par — 1 , il faut que leurs parties algébriques soient nulles.

Si Ton pose

en désignant par i le vectenr DA, Téquation précédente peut ôtre mise sous cette forme qu'on obtient d'ailleurs directement

Sp8[jLv = 0.

or p est un quaternion dont Taxe est dirigé suivant le rayon Ao de la sphère circonscrite au quadrilatère ABGD et d/xv est un vecteur langent en A (n* 49) au cercle AMD, la condition précédente revient donc à exprimer que ce vecteur est perpendiculaire à Ao, ce qui est la condition nécessaire et suffisante pour que le point M soit sur la sphère de centre o, circonscrite au quadrilatère ABGD.

Il serait aussi facile, en partant de là, de trouver en coordonnées ordinaires l'équation de la sphère précédente, ainsi que celle du pian tangent à cette sphère mené par le point A. Il suffirait pour arriver à cette dernière équation de faire dans les précédents fjL:=:d et de considérer y comme un vecteur quelconque situé dans le plan tangent.

53. Occupons-nous maintenant d'établir quelques identités importantes auxquelles donne lieu la considération des produits de plusieurs vecteurs.

Soient d'abord a, |3, y trois vecteurs ayant une même origine ; leur produit donnera un quaternion composé en général de deux parties, qui sont susceptibles d'être exprimées par des formules simples et d'un usage fréquent.

On aura en premier lieu

qui revient aussi à celle-ci

VaVpT = V(VyP . a) = TSaP-pS^a,

Or, pour établir cette dernière formule, il suffit de remarquer qu'on

V(«VPir) = i («VpY - vpY . «) = i («Pt - Py«) = ^ («P + P«h - § P(««Y + ï*), et par saite