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Le] . . . + + + D... s’appelle le coefficient de dilatation de la transformation au point z. On vérifie facilement que D,,. possède les propriétés suivantes :
D =71 (= 1 seulement pour les transf. conformes); Dire ne (3) Dr De. D,;- = De si D,,5= Fe
La parenthèse exprime le fait que le cœfficient de dilatation est invariant par rapport aux transformations conformes. Enfin, soient do, et do, les éléments de surface des plans des z et des æ. En utilisant légalité
do È ds . | dæ —— = max|——|. min | — do: dz Le ds | on établit aisément la double inégalité ma dx |? dos CR rt NES) DAT raz Fi Se do.” k Le Aie do :
qui remplace l'égalité | des transformations conformes. ŒZ C2
12. Une telle transformation est dite quast conforme, si le coefficient de dilatation reste inférieur à un nombre fixe. L'importance de ces transformations dans le problème de type des surfaces de Riemann résulte du théorème suivant ('°) :
Taéorème 1. — Si l'on a une application biunivoque du cercle unité | 3) <{1 sur le plan fint w -£ æ, alors nécessairement l'intégrale
diverge.
‘En particulier, D,,,, ne peut être borné. Il s'ensuit, en tenant compte de (3), que le type d’une surface de Riemann est invariant par une transformation quasi conforme (**).
Mais ces transformations peuvent parfois être utilisées pour étudier la distribution des valeurs de la fonction uniformisante, dans le cas parabolique. On a le théorème suivant ('?) :
THÉORÈME 2. — Le plan Jint des z étant appliqué sur le plan fini des «, St l'intégrale do- (4) fn) AE
(10) O. TercamuLcer [1], Le VAN-THien [1].
(21) M. LAWRENTIEFF | |.
(22) O. TercumULLER [1].
Qt
converge, alors il existe une constante 7 telle que
où e(z), pour : > o, tend uniformément vers zéro.
Nous appelons une telle transformation presque conforme. D'une façon générale, nous pouvons parler d’une application presque conforme d’une surface de Riemann du type parabolique sur le plan fini des z, si l'intégrale ci-dessus
converge.
13. Supposons maintenant qu’une surface parabolique W est appliquée, d'une part conformément sur le plan des €, (£—pe"), d'autre part presque conformément sur le plan des z, (z = re), il en résulte une application presque conforme du plan des € sur le plan des z. Un cercle |z|—7r— const. est transformé en une courbe
nelle A0 0}, ou, à une homothétie près, (5) DRE EU
où e(r, 0) tend uniformément vers zéro, pour r + «.
Marquons alors les images d’un point donné de la surface aussi bien dans le plan des z que dans le plan des Ÿ. Le nombre de ces points-images sera, d’après (>), asymptotiquement le même dans le cercle |z|<{r ou dans le cercle ICT. Il en résulte qù'on peut évaluer les quantités N(r, a), N,(r, a) et T(r) aussi bien dans le plan des z que dans le plan des €.
Notre prochain objectif est donc d'obtenir une application plane et presque conforme des surfaces étudiées au Chapitre I.
