LÉ E BRUN

Par « antisymétrisation » nous obtenons une surface W' avec m—,

A—logn* (fig. 12et13). L'ordre de la fonction uniformisante est, d’après (19),

Ne +() T

(18) À. Denyoy [1], L. Anrors [2].

(19) P. J. MYRBERG [1], C. BLanc [1].

Zee: VE

Tant que » (c'est-à-dire aussi l’ordre À) reste fini, la surface W! appartient au type parabolique. Mais à la limite

no, R(e)—e*, W,;=W.,

la surface «antisymétrique » W', devient hyperbolique, bien que la surface W.

Fig. 14. — Surface W, : ee.

soit parabolique (fig. 14 et 15). La démonstration se fait comme pour 2 fini, seulement à la place de (14), on aura une transformation de la forme

où |z| tend vers une valeur finie R, quand |z'| augmente indéfiniment (°°). Les spirales considérées plus haut se rapprochent maintenant asymptotiquement du cercle |z|=R(ig. 15).

Fig. 19: — Surface W°.

Ainsi la distribution en spirale explique ici comme plus haut l'influence de la dyssymétrie sur l’uniformisation de la surface. En même temps nous voyons que l'importance revient plutôt à la symétrie axiale. C’est elle qui empêche dans

(20) C. Branc [1].

THÈSE LE VAN THIEM

ET

les exemples cités la distribution en spirale, dont la conséquence est, soit le rchaussement de l’ordre de croissance de l’uniformisante, soit le passage au type hyperbolique. Évidemment dans les exemples intervient encore la périodicité, qui a le même effet que la symétrie axiale. Mais il est facile de fabriquer des exemples où le premier facteur (périodicité) est éliminé, pour mettre en évidence le rôle du dernier.

NS 7 \ AN / 2 AN Ne 7 NAN AN GP AIN

AN Pen No PA I RAIN So ve li Le ENES LS AN AE Ne PAU : 7 pi Dev ANNÉES AIN: INR A AS Nr RAS NCAA NS) é NZ Fig. 16 a. Fig:16 0.

Ainsi, bien que le réseau 16 b se déduise du réseau 16a simplement par la substitution d’une symétrie centrale à une symétrie axiale, l’ordre de l’unifor-

è ICRA À À ; misante de 160 est 1+( - ) fois plus grand que celui de l’uniformisante

PA $ Dee Ë ANS AS SR AN ALAN PANTIN NACRE hs UN NE DNA a 4 | | \ Ne N | NE PAT ENS EN AN EN REA D AN DANS MALE No AR RAINS He 7 ITA RSA Na 12 SA \ { & Fig: 17 a. Fig. 17 6.

de 164, IT en est de même pour les surfaces 17 a et 17 b qui sont, l’une parabolique, l’autre hyperbolique.

nn) Eee