DÉFAUTS ET INDICES DANS LE CAS À
21. Nous voulons établir dans ce chapitre quelques propositions concernant la fonction uniformisante (2) dans le cas À — 0, dont nous aurons besoin pour la résolution du problème d’inversion.
La relation (14) s'écrit ici 3—3 et à un cercle |3|.<r correspondent
d’après (16) » demi-cercles .
ie dd Nd:s EE Add) Cas
des » demi-plans H; (Et 2 mi A 1 Ni 0.
Il s'ensuit que les doubles inégalités (17) et (18) du chapitre précédent peuvent être remplacées par des égalités asymptotiques (?)
He RTC) = BTR EE,
n\r, A Im TL . 7 5 s
PE est indépendant aussi bien du rayonr N(r, a) > que de la valeur 4. Par suite, pour calculer £(a) et (a), nous pouvons considérer les quantités n(r, a), n,(r, a) à la place de N(r, a), N,(r, a).
q ’ T Si l’on désigne alors par 2'(a), &'(a) les défauts et indices de a relativement 5 P
à R;(e°), on aura relativement à (3)
En particulier le rapport
d'A) 2 on DEEE (a) io Ne Ni - | À Dons om CHE DE CR | | Æ CERCLE 20 | ( /li SN PAS .. ROMANE da) æ° \ AUS EE (a) = 5 ANS REA, ni Æ ee 7 d; dx. : ae
On peut obtenir les quantités 2 et e' relatives à la fonction périodique R;(e*) en calculant les défauts et indices « relatifs » à chaque période, ce que l’on peut faire en étudiant le réseau de la surface fermée engendrée par la fonction
rationnelle R;(u).
(21) Il en résulte qu’on peut préciser que pour À = o la fonction caractéristique est à croissance régulière (voir G. VaLtiRoN [2]).
HE YOGE—
Le degré de R; est n;. À un point fondamental (*°?) a, correspondent, dans la surface fermée R;(w), un certain nombre de points réguliers ou critiques algébriques. Un tel point apporte une contribution au défaut ou à l'indice de 4, selon qu'il devient ou non un point critique logarithmique quand on passe de R;(u) à R;(e*). Le premier cas se présente seulement pour 4,=R;() ou R;(0) et nous avons appelé l’ordre (?*) du point considéré d'/— 1 où d, — 1:
de Le 2 S; = L) l'apport au défaut 2'(a,) est alors s est égal à l’ordre divisé par »;, de sorte que si nous appelons e, la somme des ordres (ou l’ordre total) des points de la seconde espèce, nous aurons
+ Dans le second cas l'apport àd’indice e'(a,)
e(ay= © da) 0 sta (c0 et AUto) di Ë ; (a)= © D) +. SE — RON Ro), (21) + aa) 2, CAS) > si ayÿ—R(0o) R(o), dÿ + dy
é(a)= 2 H(a)= ET si &=R(&)=R(0).
22. En particulier les 2’ et s' sont rationnels. D’après (20) il en est de même pour à ete; c’est le complément au théorème A.
$ Ste : se d Sn Si nous écrivons 2'(a,) sous la forme ©(a,)— er la différence n;—(d,+e,) È
est égale au nombre des points de ramification sur a, qui apportent une contribution à e, : donc elle ne s’annule que sie, est nul. Il s'ensuit que la somme D'(a,)+ e(a,) est inférieure à 1, si e'(a,) est positif. D’après (20) ceci vaut aussi pour la somme Ô(a,)+ e(a,) :
(22) d(ay)+e(a,) Li, HN E((4) = 0.
Si l’on fait la somme pour tous les a, on a
NV Je, deda re : < 2h;
car la somme de, +d; + d; n’est autre que la somme des ordres de tous les
Y points de ramification de la surface plus 2, ce qui fait bien 22; d’après la relation de Riemann-Hurwitz. On conclut, comme plus haut, la même chose
RE PR tr D) à.
(2?) Point fondamental par rapport à æ(z). Mais a, peut être pour .R;(4) seulement un point fondamental apparent, sur lequel R;(4) n’a que des points réguliers.
(3) L'ordre de multiplicité est défini de manière qu’un point régulier soit d'ordre nul. Il est égal à l'ordre infinitésimal diminué d’une unité.
Se 9 Er QP
pourôete
q (23) DIT ca Da (a)e= 2.
Qt
Nous écrivons finalement la relation évidente QE (24) DAICNEZ o.
Par la démonstration du théorème B, nous montrerons que les nombres rationnels
—0(4)), CNE (CM) ÉHAL AN 09)
ne sont pas reliés entre eux par aucune autre relation que (22), (23) et (24).
23. Si l’on a, pour tous les bouts périodiques ®’ de la surface W, Hd (y ERA TR):
alors la condition À = 0 est automatiquement remplie et les formules (20) se simplifient en devenant
, se LOU a) RER) | ME esse à (29) ne lLet(a)+...+lne"(a) : Be: + + Un k où l’on a posé (26) =
et /; ne dépend que du bout considéré. Nous disons que le bout est de caractéristique nulle et appelons /; sa longueur réduite. Il n’est pas possible de résoudre le problème d’inversion posé rien qu'avec de tels bouts, mais les formules (25) peuvent être généralisées au moyen de la notion de «surfaces de composition ».
Surfaces de composition. — Soit W, et W, deux surfaces de caractéristique nulle possédant chacune un point de ramification logarithmique sur le même point fondamental a,. Nous coupons chacune d’elles le long d’une ligne partant du point de ramification en question pour aboutir à un point intérieur de la surface, et telle que la trace sur le plan des æ soit la même dans les deux cas.
Si nous relions alors les bords libres en croix, nous obtenons une surface W qui est aussi de caractéristique nulle : nous disons que W, et W, sont associables et écrivons
