CHERE

ce qui nous ramène au cas 2°, Nous pouvons ainsi énoncer le complément suivant au théorème B :

THÉORÈME C. — Pour résoudre le problème d’inversion posé, on peut n'utiliser que des bouts périodiques qui sont ramufiés seulement sur q— 3 points Jondamentaux et qui correspondent aux schémas suivants dits schémas élémentaires :

NN AN N PA ONCE 0 MO RO (41) e £o N] ce o

Évidemment, on ne peut abaisser davantage le nombre 9 des points fondamentaux, car les seuls bouts à deux points fondamentaux sont les bouts logarithmiques.

30. Si nous étions partis de ce résultat, nous aurions pu simplifier la démonstration du théorème B, c’est-à-dire de la possibilité de résoudre le problème d'inversion, en ramenant d’abord, par une transformation linéaire, les trois points fondamentaux a,, a, a; sur une même droite, avant de représenter les bouts périodiques sur un demi-plan. Nous choisissons alors comme courbe € un segment de droite joignant les deux points de ramification logarithmique du bout périodique, et la courbe T, son image, sera aussi, par raison de symétrie, une droite, de sorte que les domaines G, et G, sont eux-mêmes déjà des quadrants [n° 14, (fig. 4)].

D'un autre côté nous aurions, au lieu des schémas fondamentaux (33) et (34), seulement à résoudre les schémas(41), ce quiconduità un problème algébrique fort simple : il s’agit de construire une fonction rationnelle, qui possède au

plus cinq points de ramification répartis sur trois points fondamentaux. Ceci peut se simplifier encore.

Nous allons montrer que le problème d’inversion posé peut se ramener

finalement à la construction de Jonctions rationnelles R(u), avec trois potnts de rami/fication.

Il en est déjà ainsi pour le second des schémas (41). Pour le premier, nous