DT

Nous avons bien encore pour R(e°), quatre points de ramification dans l’avantdernier schéma (d-—1) et cinq points de ramification pour le dernier (d*=— d=1); mais on a, dans les deux cas, seulement trois points de ramification pour la fonction rationnelle R(4): un point de ramification logarithmique dans le premier cas, et deux points de ramification logarithmique dans le second cas proviennent des points réguliers de R(w). C0. F2 D:

31. Nous avons donc à résoudre seulement le problème suivant :

PROBLÈME. — Construire une fonction rationnelle R qui, sur chaque point a,(v=1, 2, 3), possède un point de ranufication d'ordre à...

Évidemment les À, donnés ne peuvent être tout à fait arbitraires. D'abord leur somme doit être paire, puisqu'on doit avoir A+, +A,;=2n—2, où n est Le degré de R. Puis il faut alors que chaque x, soit au plus égalà n —1, ce qui entraîne que chaque À, doit être au plus égal à la somme des deux autres (inégalité des triangles) :

l1+ + À paire, NBA, BY, 2,5)

Solution. — Nous résolvons ce problème en construisant le réseau R(w). Nous dessinons d’abord dans le plan des & un polygone de 2À,+ 2 sommets et côtés (Jig. 18). L’extérieur de ce polygone doit représenter le domaine algébrique (a,). Nous numérotons alors les sommets de 1 jusqu'à 21,+ 2 et relions le premier sommet avec le (A, +, —2,+ 2)°% (25) par une suite de A+ A3— À, nœuds reliés par A++ A,— 7,1 segments. Le polygone primitif est ainsi divisé en deux polygones, l’un à 21,+ 2 sommets, l’autre

(26) D'après ce qui précède, k4+ ko — 3 + 2 = 27 — };3 est un nombre pair positif, de même que

dot À re. À

sages

à 21, 2sommets. Ces polygones doivent représenter les domaines algébriques (a,) et (a;). Pour obtenir le complexe voulu, il reste à compléter la figure par des «diangles » représentant les points réguliers sur &,, a, et a.

(as)

ou nas A

FE SEEN EN 2 Mi On voit que la solution est unique.

32. Nous avons résolu le problème d’inversion sous certaines conditions. Nous voulons maintenant étudier, pour chacune d’elles, la possibilité de s’en affranchir :

a. qg< oo. — Comme nous avons dit dans l’Introduction, le problème d’inversion pour une infinité de valeurs exceptionnelles a, semble encore inaccessible avec les moyens actuels. En particulier, cela nous oblige à quitter le champ des surfaces à un nombre fini de points fondamentaux, c'est-à-dire la représentation commode par réseau, si nous voulons nous en tenir à la méthode géométrique. Aucune des fonctions connues ne présente une infinité de défauts et d'indices. On connaît des fonctions telles que

w(2) = e® dé,

qui présente une infinité de valeurs asymptotiques finies (**). Mais leurs défauts sont nuls par raison de symétrie. On pourrait espérer obtenir des défauts positifs en rendant « dyssymétrique » le noyau de l'intégrale. On part pour cela du réseau de la surface f(z) = e", ramifiée sur les points (3) = 0,1 et (#g. 14). Dans le réseau, tous les domaines logarithmiques sur le point sont équivalents. En introduisant des nœuds non ramiliés entre les deux nœuds ramifiés, situés au bord de ces domaines, on pourrait détruire cette symétrie (/g. 19). La fonction uniformisante Ji(3) reste entière, son intégrale

ne M QG à

(27) Ce sont (8V+1)7 co ai f ee dy + f° CRAGT QUES NE eo ).

LE (ee

est une fonction uniforme œ(s)= f Jfi(c) dt

et possède aussi une infinité de valeurs asymptotiques finies, mais qui, n'étant plus «équivalentes », pourraient avoir des défauts positifs.

het \o) pes à 4 N Nr 7 NA lo = cer Ne / \ | \ Ï \ = | Ve fi o | o

Fig. 19. — Surface f, (z).

b. >» (3, + e,) —2. — Il résulte d’un théorème de Teichmüller, que si la

surface ne possède qu'un nombre fini de points fondamentaux de ramification, la somme totale des indices et des défauts atteint la valeur totale des indices maxi-

mum 2, de sorte que le problème d’inversion dans le cas DC, + AENTES E

présente la mème difficulté que dans le cas précédent : la surface doit présenter des ramifications sur une infinité de points fondamentaux. La fonction intégrale #(z) précédente, pour laquelle cette somme est égale à 1, possède bien une infinité de points fondamentaux de ramification; ce sont, entre autres, les valeurs asymptotiques a,(v—1, ...,®).

c. Ô,—+e, ne peut, à cause de la périodicité des bouts, prendre la valeur 1, à moins que l’on ait à,—1 et alors e, = 0. En particulier on a toujours e,<{1.

En modifiant les bouts périodiques de la manière indiquée dans la figure 20 pour obtenir des bouts pour ainsi dire pseudo-périodiques, E. Ulrich (**) a pu (28) E. Uzricu [2].

THÈSE LE VAN THIEM