CHAPITRE VIII
& LE cas Do ET LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES.
33. Considérons la fonction elliptique définie par PCs) = [p(z)— 00] [p(5) — m1] [p(z) — ee] [p(z)— es].
L arbre topologique (fig. 21) de la surface engendrée est un réseau rectangulaire : p(z) ne possède sur les quatre points fondamentaux e; (eee que des points de ramification algébrique d'ordre : et correspond au schéma
PM VENT fee de distribution suivant :
£o £i Lo té (e) O O O I I
mn Cal
Les défauts manquent et la somme des indices atteint le maximum 2. Dans
Em + +
SE
chaque parallélogramme des périodes, l'équation p(z)—ae; a deux racines, 6 et '.
34. Soit maintenant R(w) une fonction rationnelle de degré net a,,...,a, l’ensemble des points fondamentaux de R(w) plus les poïnts R(e,), R(e,), R(e;), R(e;) (*°) considérés comme points fondamentaux apparents, s’ils ne sont pas déjà parmi les points fondamentaux véritables. Supposons que sur a, (Y—1, 2,...,q), R(u) possède des points de ramification af (w—1,
2, ..., k,) d'ordre ÀŸ dont la somme est ky HN WA
Nous avons, d’après la relation de Riemann-Hurwitz, Die lon — 02.
AVE V Formons alors la fonction elliptique paire (°°)
Chaque parallélogramme des périodes de w correspond à 27 feuillets, donc
à 4n nœuds du réseau.
Sur un point w — a, <R(+;), cette fonction possède dans le parallélogramme
(2°) Plusieurs des points R(e;) peuvent coïncider. (39) Toutes les fonctions elliptiques paires de mêmes périodes que p(z) sont de la forme R[p(z)|.
MODE des périodes des points de ramification GF et B! tels que ÉD EUS
chacun d'ordre XF (u—1,2,...,4,). Ce qui fait que l'indice de a, par rapport à R[p(z)] est égal à
E(ay) == À =? [ay R(k)].
Mais un point de ramification af—e; sur le point fondamental a,—=R(e;) donne naissance à un seul point de ramification d'ordre 22#+ 1 pour R[p(z)|. Son apport à l'indice de a, est donc égal à
Finalement la somme des indices est
(42) D CAE ER OX
Comme l’ordre total des points de ramification de R(z) sur un point fondamental donné est nécessairement inférieur au degré, on a de nouveau
(43) E(aS) Tr:
