Soit maintenant à résoudre le schéma

CRC NT ME # À à DO NT OO SON "4 TS EE I an (44) M ANDRE PES 4 (és à Eg))

RENTE EIRE

où les e, satisfont aux relations (42) et (43), ce qui exige en particulier que le nombre q des points fondamentaux soit supérieur à 2 : g> 3. Si nous écrivons

avec n 4, le schéma devient

2e; 2 ey deg an RS NE SO Er

Nous pouvons supposer que e, ete, sont les plus petits des e,.

Nous construisons alors une fonction rationnelle R(u) de degré n satisfaisant aux conditions suivantes :

RU

1° sur à, et a, l’ordre total des points de ramification est respectivement Cr OC —T; 2° sur 4, (v=3,...,q), l'ordre total des points de ramification est égalàe,.

Ce problème algébrique est résoluble, grâce aux conditions (42) et (43). Nous donnerons en appendice (**) la méthode de construction directe du réseau de R(u).

Les relations

entrainent nécessairement CNE MED

Mais comme l'équation R(u)— a, doit avoir » racines, R(w) aura sur a, encore au moins deux points réguliers : u—e, et u—e,. De même elle aura sur a, encore au moins deux points réguliers : u—r,etu—t;.

Le schéma (44) est alors résolu par la fonction R{p(z)], où p(z) est la fonction elliptique définie par

Ld a « Al g. 5 ! A Tnéorème. — Le problème d’inversion dans le RD EUE e,<{ 1 peut être

résolu par les fonctions elliptiques paires R{[p(z)].

La solution donnée ci-dessus est générale, mais dans des cas spéciaux, R(u) peut être choisi plus simplement. En particulier, son degré n’a pas besoin de dépasser 4.